Intuição por trás do prêmio de risco

Na Palestra 20 do curso de Microeconomia do MIT, é proposta uma situação em que uma aposta 50/50 resultará na perda de US $ 100 ou no ganho de US $ 125 com uma riqueza inicial de US $ 100. É afirmado que uma pessoa estaria disposta a se assegurar de $ 43,75 (a diferença entre $ 100 e $ 56,25). Qual é a intuição por trás disso?

Desde já, obrigado!

O nome da quantia $ 56.25 é equivalente a certeza .

A utilidade esperada para o indivíduo de fazer a aposta é calculada da seguinte forma: Suponha que o indivíduo possa pagar uma quantia em dinheiro para que ela pode evitar fazer a aposta (o que leva à utilidade esperada ). Qual é a quantidade máxima de dinheiro ela está disposto a pagar? Bem, ela pagaria até um ponto em que é indiferente entre aceitar e não fazer a aposta.

$$E[U]=\frac12U(100+125)+\frac12U(100-100)=75$$ $x$$75$$x$

Se ela fizer a aposta, a utilidade esperada é . Se ela paga, sua utilidade é . Queremos que ela seja indiferente, de modo que . Lendo a curva azul em seu gráfico (a curva que descreve ), vemos que que significa , ou .$75$$U(100-x)$$U(100-x)=75$$U$

$$U(56.25)=75$$ $100-x=56.25$$x=43.75$

Portanto, podemos interpretar 43,75 como a quantia máxima de dinheiro que um indivíduo está disposto a pagar para evitar a aposta (arriscada).

Há um erro de digitação na figura que introduz alguma confusão na resposta anterior, o que está basicamente errado .

Com base nos números e na figura, o utilitário é tal que então .

$$u=\sqrt{x},$$ $$E[u]=\frac{1}{2} u(100+125) + \frac{1}{2} u(100−100)= \frac{1}{2} u(225) =\frac{1}{2} \sqrt{225} = 7.5$$

Por definição, o prêmio de risco (R) deve atender à seguinte condição:

$$E(u) = u(100 - R)$$ $$\Leftrightarrow 7.5 = \sqrt{100 - R}$$ $$\Leftrightarrow (7.5)^2 = 100 - R$$ $$\boxed{\Leftrightarrow R = 43.75}.$$

Observe que esta aposta é melhor do que um "jogo justo" porque o ganho esperado não é zero, mas positivo (0,5 ± 125 + 0,5 ± (- 100) = 12,50,5 ± 125 + 0,5 ± (- 100) = 12,5). Portanto, apesar dessa aposta muito boa, o agente avesso ao risco caracterizado por sua função de utilidade côncava ( ), está pronto para pagar quase metade de sua riqueza inicial para evitar riscos e obter o valor equivalente à certeza.$u = \sqrt{x}$