Na vinheta Ms. Exponential vs Ms. Hyperbolic

Eu deparei com esta pequena parábola que mostra como o desconto exponencial é superior ao desconto hiperbólico ¹ :

Quanto maior a curvatura [da curva de desconto hiperbólica], significa que, se um descolador hiperbólico se envolvesse no comércio com alguém que usasse uma curva exponencial, logo ela seria liberada do seu dinheiro. Exponential poderia comprar o casaco de inverno da Hyperbolic a preço baixo a cada primavera, por exemplo, porque a distância até o próximo inverno deprimiria a avaliação de H mais do que a de H. E então poderia vender o casaco de volta para H todo outono, quando a aproximação do inverno colocava a avaliação de H em um pico alto.

A figura a que o trecho se refere se parece com a mostrada abaixo, a diferença mais notável é que adicionei a legenda para indicar qual curva é qual ² , juntamente com a forma analítica das funções de desconto reais usadas ³ .

Mas parece-me que o argumento, como apresentado acima, é espúrio. É claro que, cuja avaliação seria mais deprimida, depende do tempo. Portanto, o mesmo argumento exato com os papéis das senhoras E e H revertidos funcionaria para qualquer ponto no tempo entre o ponto no qual as curvas se cruzam e o eixo vertical.

De fato, para certas escolhas de coeficientes para as curvas hiperbólica e exponencial, a curva exponencial é mais deprimida do que a hiperbólica em todos os momentos . Por exemplo:

Acontece que a curva exponencial verde acima intercepta a curva hiperbólica em apenas um valor de , ou seja, t = 0 (ou seja, no momento indicado pelo eixo vertical). Para todo t < 0 , a curva exponencial verde está estritamente abaixo da hiperbólica.$t$$t = 0$$t < 0$

Isto significa que, se curva desconto exponencial da Senhora E eram o verde, então Ms. H seria capaz de causamos a miséria dela rapidamente, aplicando a estratégia descrita no trecho, e isso seria verdade independentemente da duração do intervalo de tempo entre a compra e a venda do casaco de inverno .

Em resumo, o argumento do excerto para a superioridade do desconto exponencial sobre o desconto hiperbólico não retém água, na minha opinião.

Agora, percebo que o trecho não está sendo particularmente rigoroso e que pode haver uma maneira mais convincente de demonstrar a superioridade do desconto exponencial sobre o desconto hiperbólico. Se assim for, o que é? Em particular, quero saber o seguinte:

Como alguém que usa desconto exponencial pode tirar vantagem financeira unilateralmente de alguém que usa desconto hiperbólico?

(Por unilateralmente, quero dizer que a estratégia está disponível apenas para alguém que usa desconto exponencial em relação a alguém que usa desconto hiperbólico, e não vice-versa.)

^{1 A referência que tenho para esta passagem é a Quebra da vontade (2001) por George Ainslie (pp. 30-31). Eu não tenho o livro, no entanto.}

^{2 Acrescentei os rótulos "hiperbólico" e "exponencial", de acordo com minha interpretação do que o autor quer dizer com "maior reverência". Como eu não sou nativo de inglês, corrija-me se esta interpretação for inversa.}

^{$(-\infty, 0]$}

Eu acredito que a bomba de dinheiro funciona assim:

$T=0$$t$$1$$T=\epsilon$$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$$100 + \psi_1$$\psi_1$$\frac{1}{1-\epsilon}$$T = 2 \epsilon$$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$$1 + \psi_2$$\psi_2$

$\geq$

$\frac{1}{3}$$\frac{1}{2}$