Intervalo de previsão para

Vamos supor que temos regressão linear com a variável dependente . Como encontrar um intervalo de previsão para E ( y | X 0 ) ?$ln(y)$$E(y|X_0)$

Se tivermos , há uma maneira para atingir P I ( E ( y | X 0 ) ) ?$PI(E(ln(y)|X_0))$$PI(E(y|X_0))$

Qualquer ajuda seria apreciada.

Eu peguei esse link no Journal of Statistics Education

$X\sim \log N(\mu,\sigma^2)$$Y=\log(X) \sim N(\mu,\sigma^2)$

$E(X)=E(e^Y)=e^{\mu+\sigma^2/2}$$\log(E(X))$

$$\bar Y+\frac{S_Y^2}{2}$$ $Var(\hat\log(E(X)))=\frac{\sigma^2}{n}+\frac{\sigma^4}{2(n-1)}$ $$\hat Var(\hat\log(E(X)))=\frac{S_Y^2}{n}+\frac{S_Y^4}{2(n-1)}$$

$$\frac{\hat \log E(X)-\log E(X)}{\sqrt{\hat Var(\hat\log(E(X)))}}\sim^a N(0,1)$$

$$CI(E(X))=\left]e^{\bar Y+\frac{S_Y^2}{2}\pm z_{1-\alpha}\sqrt{\frac{S_Y^2}{n}+\frac{S_Y^4}{2(n-1)}}}\right[$$ $t(n)$

Se olharmos para a tabela 5 do link, podemos ver que o melhor método é o Cox modificado, pois para amostras pequenas e grandes, a probabilidade de cobertura é a mais próxima do nível nominal.

$CI(E(X))=\left]e^{\bar Y+\frac{1}{2}\frac{S_X^2}{(\bar X)^2}\pm t_{1-\alpha}\sqrt{\frac{S_Y^2}{n}}}\right[$

Simulei sua resposta com o seguinte código no Mathematica:

sim[n_] := Module[{},
  ct = 1;
  res = 0;
  While[ct <= 10000,
   data = RandomVariate[LogNormalDistribution[5, 1], n];
   y = Log[data];
   my = Mean[y];
   s2y = Variance[y];
   mx = Mean[data];
   s2x = Variance[data];
   qt = Quantile[StudentTDistribution[n], 0.975];
   If[E^(my + 0.5*s2x/mx^2 - qt*Sqrt[s2y/n]) < E^(5 + 0.5) < 
     E^(my + 0.5*s2x/mx^2 + qt*Sqrt[s2y/n]),
    res++];
   ct++;
   ];
  res = res/10000.
  ]

A única diferença é que eu fiz 10000 replicações, enquanto o link faz apenas 1000.

$${0.8954, 0.8464, 0.7682, 0.7153, 0.6454, 0.4832, 0.3045, 0.073, 0.0068}$$

Como podemos ver, a correção aumenta as probabilidades de cobertura quando comparada ao método ingênuo, mas ainda sofre do mesmo problema, ou seja, o prob. tendem a zero à medida que o tamanho da amostra aumenta.

Em suma, o melhor curso de ação é usar a abordagem de Cox modificada.

Devido à desigualdade de Jensen, temos

$$E(\ln y) \leq \ln E(y) \implies \exp\{E(\ln y)\} \leq E(y)$$

$\exp\{E(\ln y)\}$$E(y)$

$E(\ln y)$$E(y)$

$$E(\ln y) \approx E\left[ \ln E(y) + \frac{y-E(y)}{E(y)}-\frac 12 \frac {[y-E(y)]^2}{[E(y)]^2}\right]$$

$$\implies E(\ln y) \approx \ln E(y) -\frac 12 \frac {\sigma_y^2}{\mu_y^2}$$

$$\implies \ln E(y) \approx E(\ln y) +\frac 12 \frac {\sigma_y^2}{\mu_y^2}$$

a correção é metade do coeficiente de variação ao quadrado .

$y$