Entendendo a construção de processos estocásticos

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Eu já vi processos estocásticos modelados / construídos da seguinte maneira.

Considere o espaço de probabilidade e deixe ser a transformação (mensurável) que usamos para modelar a evolução do ponto de amostra longo do tempo . Além disso, seja o vetor aleatório . Então, o processo estocástico é usado para modelar uma sequência de observações através da fórmula ou $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Como devo entender os pontos de amostra e a transformação nesta construção? ( ser algo como uma sequência de choques em certos casos?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

Para maior concretude, como eu escreveria esses dois processos nessa notação?

Processo 1: que .

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

Processo 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

econometrics time-series probability stochastic-processes jmbejara
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Essa construção que você descreve não é totalmente geral. De fato, caracteriza séries temporais estritamente estacionárias. Você vê que é invariável por turno. Este operador é essencialmente um operador de turno. $S$

Para comparação, aqui está a definição usual de, digamos, processos em tempo discreto:

Definição Um processo estocástico é uma sequência de mapas mensuráveis de Borel em um espaço de probabilidade . $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Agora, para o que você está descrevendo, você tem um mapa mensurável fixo Borel . É a medida subjacente que está evoluindo de acordo com a . O mapa induz uma nova "medida push-forward" (no jargão teórico da medida) em apenas com pré-imagens: defina uma medida por $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

Portanto, o vetor aleatório é por construção. Eles induzem a mesma medida de avanço em . Faça isso com para cada você terá suas séries temporais. $X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

Quanto à sua pergunta sobre , a inspeção da prova para outra direção deve esclarecer isso --- isto é, qualquer série temporal estritamente estacionária deve necessariamente assumir esse formato para alguns , e . $\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

O ponto básico é que, de um ponto de vista geral, um processo estocástico é uma medida de probabilidade no conjunto de suas possíveis realizações. Isso é visto, por exemplo, na construção do movimento browniano de Wiener; ele construiu uma medida de probabilidade em . Portanto, em geral, um é um caminho de amostra e consiste em todos os caminhos de amostra possíveis. $C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

Por exemplo, considere os dois processos que você nomeou acima. Eles são estritamente estacionários, se digamos que as inovações são gaussianas. (Qualquer série temporal de covariância-estacionária impulsionada por inovações gaussianas é estritamente estacionária.) A construção começaria tomando como o conjunto de todas as seqüências, a -algebra gerada por mapas de coordenadas e a medida apropriada. Para o processo de ruído branco (2), é apenas uma medida de produto em um produto infinito. $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

Referência Esta caracterização / construção por mudança de séries temporais estritamente estacionárias é mencionada na Teoria Assintótica de White para Econometristas .

Michael
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Obrigado pela resposta e a referência. Além disso, desculpe pela lenta resposta aqui. Isso faz sentido. Além disso, apenas para mencionar, de acordo com a referência (livro de White), parece-me que essa construção permite processos não estacionários. Def. 3,27 define uma transformação a ser medida se conservar para todos . Então, a Prop. 3.29 diz que se for preservar medidas, o processo será estacionário.

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

jmbejara

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@jmbejara Sim, bom ponto. Na verdade, é totalmente geral - escolhendo como o espaço dos caminhos canônicos ( ), um produto infinito - e defina como a mudança, qualquer lei de série temporal pode ser realizada em tal forma.

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

Michael

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É possível considerar casos de como um ponto no espaço dimensional infinito, por exemplo, sequência de choque, mas essa interpretação seria improdutiva, pois você não terá simplificações quando comparado à especificação direta do processo no espaço de probabilidade filtrado e apenas produziu entidades adicionais indesejadas para complicar as coisas. $\omega$

Essa abordagem é muito mais adequada para aplicações em pontos no espaço dimensional finito. Então, por essa abordagem, você construirá um processo Markov homogêneo no tempo e será interpretado como um ponto em seu espaço de estado, por exemplo, posição atual do processo ou várias últimas posições. As considerações sobre a interpretação de S devem ser adiadas até que exemplos sejam discutidos. $\omega$

Portanto, presumo que é uma sequência iid de variáveis aleatórias no espaço de probabilidade definido na pergunta. Em seguida, o segundo processo pode ser definido da seguinte maneira: $\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$ O índice superior aqui indica aqui a aplicação múltipla do operador.

O primeiro exemplo é uma elaboração sobre o primeiro:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$ O índice mais baixo aqui indica aqui o respectivo componente do vetor correspondente.

Como vimos, a própria operação S é bastante ambígua e difícil de interpretar razoavelmente. O ponto a ser observado, no entanto, é que ele define a medida que preserva a transformação e a captura de uma imagem produz o conjunto com a mesma medida. Portanto, essa função é dinâmica de medida em nosso espaço de estados no tempo.

Nikita Toropov
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Ele está apenas pensando em como determinístico e como inobservável. Em seguida, observamos como uma forma de informação incompleta sobre . e nos ajudam a deduzir uma distribuição de probabilidade conjunta em . $\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

Pat W.
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