Por que sistemas de 16 bits têm um dBFS mínimo de -96?

Estou trabalhando no exemplo desta página: http://chimera.labs.oreilly.com/books/1234000001552/ch03.html

Entendo perfeitamente por que o nível máximo de um sistema de áudio seria 0 porque o log de 1 é 0.

No entanto, estou confuso sobre o mínimo. A definição de dBFS é

dBFS = 20 * log( [sample level] / [max level] )

Em um sistema de 16 bits, existem 2 ^ 16 = 65536 valores. Portanto, isso significa valores de -32768 a +32767. Excluindo 0, digamos que o valor mínimo seja 1. Portanto, inserindo isso na fórmula, obtemos:

dBFS = 20 * log( 1 / 32767 ) = -90.3

Mas o livro está dizendo que deveria ser -96dBFS. Onde eu estou errando?

Você usou $\dfrac{1}{32767}$e este é o nível do sinal de pico . O nível de sinal pico a pico é, portanto, 2 LSBp-p. Mas você pode ter um sinal menor: -

O menor sinal é metade disso (ou seja, 1 LSBp-p), portanto, outros 6dB levam você a -96dBFS

Você faz a escala para sinais simétricos, mas essa noção é totalmente arbitrária. Cada bit adiciona 6 dB SNR (mais especificamente o ruído de sinal para quantização), porque dobra a escala e um fator 2 é 6 dB. Então 16 bits é 16 x 6 dB = 96 dB.
Números mais exatos: 20 log (2) = 6,02, portanto, 16 x 6,02 dB = 96,33 dB.

Você quase encontrou você mesmo! Pense em termos de valor não assinado, em vez de assinado, e você é perfeito. Na fórmula

dBFS = 20 * log( [sample level] / [max level] )

Considerar

[sample level]=1e [max level]=65536que o levará a:

dBFS = 20 * log(1/65536)

dBFS = 20 * -4.816

dBFS = -96.3

Ao calcular o SNR, você está comparando a potência do sinal em grande escala (geralmente uma onda senoidal) com a potência do ruído de quantização. A energia é calculada com base no valor RMS da forma de onda.

O ruído de quantização é melhor modelado como uma onda dente de serra, cujo valor RMS é (IIRC) $1/\sqrt{12}$o valor de pico. Quando comparado a uma onda senoidal da mesma amplitude de pico, é isso que fornece 6 dB adicionais.