Derivação para estimativa de frequência natural de ponte em Eurocódigos

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Os Eurocódigos fornecem a seguinte equação para estimar uma "ponte simplesmente suportada sujeita apenas a flexão" *:

n0=17.75δ0

Onde

  • n0 é a frequência natural em hertz
  • δ0 é a deflexão no intervalo intermediário sob ações permanentes em mm

A equação é aparentemente arrancada do nada, e não há explicação sobre de onde vem a constante 17,75. Como engenheiro, não gosto de usar uma fórmula que não entendo, mas mais do que isso seria útil para aprender os fundamentos por trás dela, para que eu possa ver se ela pode ser alterada para funcionar com outras condições de suporte.

Alguém pode fornecer uma origem derivada / fundamental para esse relacionamento?

* A referência completa é: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Nota 8] (Equação 6.3), se isso ajudar.

thomasmichaelwallace
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Este é o pdf certo, certo?
HDE 226868 27/01
Sim, eu não sabia que você poderia pegar os Eurocódigos de graça!
Thomasmichaelwallace 31/01

Respostas:

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Se simplificarmos a ponte inteira em feixe fino 2D com um tamanho de seção constante, sem amortecimento interno e sujeito apenas a pequenas deflexões verticais, a frequência natural será determinada por um simples movimento harmônico:

n0=12πkm

Onde é a frequência natural, k é a razão entre a força restauradora e a deflexão (a 'rigidez da mola' equivalente) em m é a massa por unidade de comprimento da viga.n0km

Em uma viga, a força restauradora é o cisalhamento interno causado pela forma desviada. Como a força exibida por uma viga é proporcional à taxa de mudança de cisalhamento, que está relacionada à rigidez ( ) e à taxa de mudança de momento, ela pode ser mostrada (nota: a deflexão é proporcional ao comprimento da feixe) que:EI

k=αEIL4

Onde é o módulo de Young do material da viga, I é o segundo momento de inércia da seção da viga, L é o comprimento da viga e α é uma constante determinada pelas condições de suporte e pelo número do modo da resposta.EILα

Toda a literatura que vi expressa isso de uma maneira mais conveniente para a equação de frequência:

k=(KL2)2(EI)

Substituindo de volta,

n0 0=K2πeu2EEum

O cálculo do valor de está bastante envolvido, e existe uma abordagem exata para soluções simples e métodos aproximados, incluindo o método de energia livre e o Raleigh Ritz. Alguns desvios para uma viga simplesmente suportada podem ser encontrados aqui .K

Deve-se notar que essa equação seria suficiente, mas como requer uma tabela para e o cálculo de um valor de E I que representa a ponte como um feixe homogêneo, os autores do Eurocódigo parecem ter decidido que seria reintegrar melhor a suposição de que k é constante ao longo da viga.KEEuk

Para fazer isso, eles usaram o seguinte relacionamento:

δ0 0=CWeu4EEu

Onde é a deflexão máxima, C é uma constante ditada pelas condições de suporte, w é uma carga uniformemente distribuída constante ao longo do comprimento da viga.δ0 0CW

Sob peso próprio , onde g é a aceleração devido à gravidade (9810 mm / s 2 ; como a deflexão nesta equação é dada em mm ).W=gmg

Portanto (reorganizado :)

EEum=eu29810Cδ0 0

E entao:

n0 0=15.764KCδ0 0

Valores gerais de e C podem ser encontrados em mesas de estrutural, por exemplo aqui , e aqui , respectivamente.KC

Para uma viga simplesmente suportada:

15,764K

K=π2 e C=5384
n0= 17,75
15.764KC=17,75
n0 0=17,75δ
thomasmichaelwallace
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Aqui vamos nós. :-)
HDE 226868 01/02
2

Aqui está uma resposta possível.

Encontrei este documento (não tenho certeza da fonte exata), que contém uma derivação relacionada:

Em um problema simples de movimento harmônico, ondeké a rigidez elástica emé a massa que sofre vibração.

n0 0=12πkm
km

k=cargadeflexão=Fδ
Fδ
n0 0=12πFmδ=12πmumamδ=12πumaδ
n0 0=5.03umaδ
uma=12.4382
HDE 226868
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0

Há mais informações sobre isso no livro de Ladislav Fryba "Dynamics of Railway Bridges" (1996). Se você ler o capítulo 4, verá a fórmula 4.53 na página 92:

f1=17.753vst-1/2

f1vst

Esta equação segue da fórmula para a deflexão do meio do eixo de um feixe simplesmente suportado carregado por uma carga uniformemente distribuída μg

vst=5384μgeu4EEu

que é substituído em

fj=λj4eu4(EEuμ)1/2

λ1=π

Substituir essas equações uma da outra usando g = 9,81 m / s ^ 2 dá

f1=π2(5384g)1/2vst-1/2

A avaliação numérica desta equação produz a equação desejada.

BenjaminKomen
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O livro explica a origem da equação? Essa é a pergunta do OP. E se isso acontecer, você poderia explicar essa origem?
Wasabi
Eu adicionei a explicação dada no livro. Deve ser explicado em mais detalhes ou mais simples?
BenjaminKomen
-2

A dinâmica de engenheiros como eu, geralmente preocupada com a estática, pode estar repleta de erros e equívocos fáceis de cometer. Essa fórmula é muito útil para vigas simplesmente suportadas, pois pode ser relacionada rapidamente às cargas de peso próprio aplicadas e a uma proporção de carga ativa (geralmente 10%) sem ter que sofrer complicações.

Os cantilevers também podem usar uma constante semelhante (19,8 com udl, 15,8 com carga no ponto final). Tudo se quebra com vigas e quadros contínuos.

Eu construo uma verificação de frequência natural com todos os designs de feixes para acompanhar isso. Para estruturas de madeira, por exemplo, 8Hz é o alvo e para pisos de concreto / estruturas de aço 4-6Hz - como primeira passagem.

Existem também métodos aproximados e prontos para avaliar respostas dinâmicas. Devo dizer que a dinâmica ainda escapa e me confunde e sempre será! Então, fico o mais simples possível.

Hugh Morrison
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Isso realmente não aborda a questão central do OP - como é derivada a formulação e qual é a sua origem fundamental?
precisa saber é o seguinte