Como determinar o comprimento da característica nos cálculos de reynolds em geral?

Entendo que o número de reynolds é dado pela expressão $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ , onde$\rho$é a densidade,$v$é a velocidade do fluido e$\mu$é a viscosidade dinâmica. Para qualquer dado problema dinâmica de fluidos,$\rho$,$v$, e$\mu$são trivialmente determinada. Mas qual é exatamente o comprimento característico$L$? Como exatamente eu o calculo? O que posso usar de um determinado problema para determinar o comprimento da característica automaticamente?

Gostaria de abordar esta questão de uma perspectiva matemática que pode ser proveitosa, conforme discutido em alguns dos comentários e respostas. As respostas dadas são úteis, no entanto, gostaria de acrescentar:

1. Em geral, a menor escala de comprimento disponível é a escala de comprimento característica.
2. Às vezes (por exemplo, em sistemas dinâmicos), não existe uma escala de comprimento fixa para escolher como uma escala de comprimento característica. Nesses casos, muitas vezes uma escala dinâmica de comprimento pode ser encontrada.

Escalas características de comprimento:

TL; DWTR: para , R é a escala de comprimento característica; para R / L ≫ 1 , L é a escala de comprimento característica. Isso implica que a escala menor de comprimento é (geralmente) a escala característica de comprimento.$R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

Considere o caso do fluxo do tubo discutido nas outras respostas; existe o raio mas também o comprimento L do tubo. Normalmente, consideramos o diâmetro do tubo a escala de comprimento característica, mas é sempre esse o caso? Bem, vamos olhar para isso de uma perspectiva matemática; Vamos definir as coordenadas adimensionais: ˉ x = $R$$L$

$$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$$

Aqui, , R , U , V são escalas de coordenadas e velocidades x - y , mas não necessariamente suas escalas características. Observe que a escolha da escala de pressão P = ρ U 2 é válida apenas para R e ≫ 1 . O caso R e « 1 requer um redimensionamento.$L$$R$$U$$V$$x$$y$$P=\rho U^2$$\mathrm{Re}\gg1$$\mathrm{Re}\ll1$

Transformando a equação de continuidade em quantidades sem dimensão:

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$$

o que só pode ser o caso quando assumimos ou . Sabendo disso, o número de Reynolds pode ser redefinido:$\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$$\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

$$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$$

Da mesma forma, vamos transformar as equações de Navier-Stokes ( componente apenas para mantê-lo curto): Vemos aqui o número de Reynolds ocorrendo naturalmente como parte do processo de dimensionamento. No entanto, dependendo da razão geométrica , as equações podem exigir redimensionamento. Considere os dois casos:$x$

$$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$$ $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$$ $R/L$

• O raio do tubo é muito menor que o comprimento do tubo (ou seja, ):$R/L\ll1$

  A equação transformada lê: Aqui temos um problema porque o termo pode ser muito grande e uma equação em escala adequada apenas possui coeficientes ou menores. Portanto, exigimos um redimensionamento da coordenada , velocidade e : pressão:

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$$O(1)$$\bar{x}$$\bar{v}$$\bar{p}$ $$\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ Essa escolha de quantidades redimensionadas garante que a equação de continuidade permaneça na forma: The Navier-Stokes as equações em termos das quantidades redimensionadas produzem: que é dimensionada corretamente com coeficientes de ou menores quando assumimos os valores . Isso indica que a escala de pressão não precisou de redimensionamento, mas as escalas de comprimento e velocidade foram redefinidas: $$\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$$ $$\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ $O(1)$$\alpha=-1,\,\beta=0$ $$\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$$ e vemos que o comprimento característico e escala de velocidade para, respectivamente e não é e como assumida no início, mas e .$x$$v$$L$$V$$R$$U$

• O raio do tubo é muito maior que o comprimento do tubo (ou seja, )$R/L\gg1$ :

  A equação transformada lê: Da mesma forma que no caso anterior, pode ser muito grande e requer um novo escalonamento. Exceto que desta vez exigimos um redimensionamento da coordenada , velocidade e pressão: Essa escolha de quantidades redimensionadas novamente garante que a equação de continuidade permaneça na forma:

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$$\bar{y}$$\bar{u}$$\bar{p}$ $$\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ $$\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$$ As equações de Navier-Stokes em termos de quantidades redimensionadas produzem: devidamente dimensionada com os coeficientes de ou menor quando assumimos os valores . Isso indica que o comprimento, as velocidades e as escalas de pressão foram redefinidas: $$\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$$ $O(1)$$\alpha=1\,\beta=-2$ $$\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$$ e vemos que o comprimento, velocidade e pressão escalas característicos para, respectivamente, , e não é , , como assumida no início, mas , e .$x$$v$$p$$R$$U$$\rho U^{2}$$L$$V$$\rho V^{2}$

Caso você tenha esquecido o objetivo de tudo isso: para , é a escala de comprimento característica; para , é a escala de comprimento característica. Isso implica que a escala menor de comprimento é (geralmente) a escala característica de comprimento.$R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

Escalas dinâmicas de comprimento:

Considere a difusão de uma espécie em domínio semi-infinito. Como é infinito em uma direção, não possui uma escala de comprimento fixa. Em vez disso, uma escala de comprimento é estabelecida pela 'camada limite' que penetra lentamente no domínio. Esse 'comprimento de penetração', como a escala de comprimento característica é chamada às vezes, é dado como:

$$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$$

onde é o coeficiente de difusão e é o tempo. Como visto, não existe uma escala de comprimento envolvida, pois é determinada completamente pela dinâmica de difusão do sistema. Para um exemplo de tal sistema, veja minha resposta a esta pergunta.$D$$t$$L$

Essa é uma questão prática, empírica, não teórica que pode ser "resolvida" pela matemática. Uma maneira de responder é partir do que o número de Reynolds significa fisicamente: representa a razão entre forças de inércia "típicas" e forças viscosas no campo de fluxo.

Então, você observa um padrão de fluxo típico e escolhe a melhor medida de comprimento para representar essa razão de forças.

Por exemplo, no fluxo através de um tubo circular, as forças viscosas (cisalhamento) dependem do perfil de velocidade do eixo do tubo para as paredes. Se a velocidade ao longo do eixo do tubo permanecer a mesma, dobrar o raio (aproximadamente) reduzirá pela metade a taxa de cisalhamento entre o eixo e as paredes (onde a velocidade é zero). Portanto, o raio ou o diâmetro são boas escolhas para o comprimento da característica.

Obviamente Re será diferente (por um fator de 2) se você escolher o raio ou o diâmetro; portanto, na prática, todos fazem a mesma escolha e todos usam o mesmo valor crítico de Re para a transição do fluxo laminar para o turbulento. Do ponto de vista prático da engenharia, o tamanho de um tubo é especificado por seu diâmetro, já que é fácil medir, portanto, você também pode usar o diâmetro para Re também.

Para um tubo que é aproximadamente circular, você pode decidir (por um tipo de argumento físico semelhante) que a circunferência do tubo é realmente o comprimento mais importante e, portanto, comparar os resultados com tubos circulares usando um "diâmetro equivalente" definido como (circunferência / pi).

Por outro lado, o comprimento do tubo não tem muita influência no padrão de fluxo de fluido, portanto, para a maioria dos propósitos, seria uma má escolha do comprimento característico para Re. Mas se você estiver considerando o fluxo em um "tubo" muito curto, em que o comprimento é muito menor que o diâmetro, o comprimento pode ser o melhor número a ser usado como o parâmetro que descreve o fluxo.

Existem três maneiras principais de determinar quais grupos de termos (mais gerais do que apenas escalas de duração ou tempo) são relevantes. O primeiro é pela matemática, que pode envolver a solução de um problema ou um problema análogo ou apropriado analiticamente e ver quais termos aparecem e fazer seleções que simplificam as coisas conforme apropriado (mais sobre isso abaixo). A segunda abordagem é por tentativa e erro, mais ou menos. O terceiro é por precedente, geralmente quando alguém no passado já fez algum tipo de análise mencionada anteriormente neste problema ou em outras relacionadas.

Existem várias maneiras de fazer a análise teórica, mas uma útil na engenharia é a equação governativa não-dimensionalizante. Às vezes, o comprimento da característica é óbvio, como é o caso de um fluxo de tubo. Outras vezes, porém , não existem comprimentos característicos óbvios , como é o caso dos fluxos de cisalhamento livre ou de uma camada limite. Nesses casos, você pode transformar o comprimento da característica em uma variável livre e escolher uma que simplifique o problema . Aqui estão algumas boas notas sobre a não-dimensionalização , com as seguintes sugestões para encontrar escalas características de tempo e comprimento:

1. (sempre) Faça quantas constantes não dimensionais iguais a uma possível.
2. (geralmente) Torne as constantes que aparecem nas condições iniciais ou de limite iguais a uma.
3. (geralmente) Se houver uma constante não dimensional que, se a definirmos como zero, simplificará significativamente o problema, permita que ele permaneça livre e veja quando podemos reduzi-lo.

A outra abordagem principal é resolver um problema completamente e ver quais grupos de termos aparecem. Geralmente, o comprimento relevante é óbvio se você estiver usando o termo desse tipo de análise teórica, embora esse tipo de análise seja mais fácil de falar do que fazer.

Mas como você descobre uma boa duração se não possui uma análise teórica? Muitas vezes, não importa muito qual comprimento você escolhe. Algumas pessoas parecem pensar que isso é confuso, porque foram ensinadas que a transição de turbulência ocorre em de 2300 (para um tubo) ou 500.000 (para uma placa plana). Reconheça que, na caixa do tubo, não importa se você escolhe o diâmetro ou o raio. Isso apenas escala o número crítico de Reynolds por um fator de dois. O que importa é garantir que qualquer critério usado seja consistente com a definição do número de Reynolds usado e o problema que você está estudando . É uma tradição que determina que usamos o diâmetro para fluxos de tubos.$Re$

Além disso, para ser geral, a análise ou a experimentação poderia sugerir outro número, digamos o número de Biot, que também possui um "comprimento característico". Os procedimentos neste caso são idênticos aos já mencionados.

Às vezes, você pode fazer uma análise heurística para determinar o comprimento relevante. No exemplo do número de Biot, esse comprimento característico é geralmente dado como o volume de um objeto dividido por sua área de superfície, porque isso faz sentido para problemas de transferência de calor. (Volume maior = transferência de calor mais lenta para o centro e área de superfície maior = transferência de calor mais rápida para o centro.) Mas suponho que seja possível derivar isso de determinadas aproximações. Você pode argumentar semelhante justificando o diâmetro hidráulico .