Feedback negativo: ganho e margem de fase

Considere o sistema com feedback negativo unitário, de modo que a função de transferência de malha aberta seja

$$G(s) = \frac{as + 1}{s^2}$$

a) Determine o valor de tal que a margem de fase seja 45º$a$

b) Determine o erro de estado estacionário para a entrada da rampa unitária

c) Para , qual é a margem de ganho$a > 0$

Minha tentativa: minha dúvida é sobre o item (c). Foi o que eu fiz:

$GM = \frac{1}{|G(j\omega)|}$ para modo que \ text {phase} (G (j \ omega)) = -180º . Nesse caso, \ text {phase} (G (j \ omega)) = -180º \ iff \ text {arctan} (a \ omega) - 180º = -180º \ iff \ text {arctan} (a \ omega) = 0 \ iff \ omega = 0$\omega$$\text{phase}(G(j\omega)) = -180º$

$$\text{phase}(G(j\omega)) = -180º \iff \text{arctan}(a \omega) - 180º = -180º \iff \text{arctan}(a \omega) = 0 \iff \omega = 0$$

Mas para $\omega \to 0$ , $|G(j\omega)| \to \infty \Rightarrow GM \rightarrow 0$

Isso está correto?

Obrigado!

a)

Os dois pólos na origem contribuem para uma fase de -180 .${}^{\circ}$

O zero em contribui com uma fase que varia de 0 a 90 , com uma fase 45 na frequência de canto .$-\frac{1}{a}$${}^{\circ}$${}^{\circ}$$\frac{1}{a}$

Assim, na frequência de canto, a fase é -135 . A margem da fase pode ser 45 se nessa frequência a magnitude for 1.${}^{\circ}$${}^{\circ}$

$$\left|\frac{\frac{i a}{a}+1}{\left(\frac{i}{a}\right)^2}\right| = 1$$

$$\sqrt{2} a^2=1$$

$$a=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$$

b)

O erro de estado estacionário para uma entrada de rampa é zero porque é um sistema do tipo 2.

c)

A margem de ganho é infinita. Isso ocorre porque o gráfico da fase Bode está sempre acima de -180 para .${}^{\circ}$$a>0$