Por que podemos negligenciar o termo inercial (mas não viscoso) em Navier-Stokes com baixo fluxo e alta viscosidade?
Navier-Stokes completo:
Termo inercial: .
E como assumimos um fluxo estacionário e uma taxa baixa: . E, portanto, segue-se que o termo inercial pode ser ignorado.
No entanto, no meu material, também é afirmado que o será o termo dominante nessas circunstâncias. Por que não será assim que também? ∇ 2 → v → ∂ 2 → v
Respostas:
Geralmente, o que está implícito na baixa vazão e na alta viscosidade é que estamos lidando com o chamado fluxo numérico de Reynolds baixo. O número de Reynolds é um número adimensional, que é a razão das forças inerciais ( ) e da força viscosa ( μ U / L ): R e = ρ U Uρ Uvocê μ U/ L
Por baixoReforças viscosas dominam (regime laminar) e de altaReforças de inércia dominam (regime turbulento). Números sem dimensão comoRemostram-se naturalmente por meio de um processo conhecido como 'escalonamento' em que as equações são feitos não-dimensional; através desse processo, é possível dizer quais termos são desprezíveis com base nos valores de números sem dimensão relevantes. Para mais informações, verifique minha resposta aestapergunta.
Tecnicamente, dizer 'baixo fluxo e alta viscosidade' não é suficiente para dizer que estamos lidando com um baixo fluxo porque também depende da escala de comprimento L (geralmente diâmetro do tubo, etc.) e da densidade ρ (do ar ou da água). ), mas geralmente está implícito que é o caso.R e eu ρ
Agora, dizendo para uma taxa de fluxo baixa que está incorreto; o que você provavelmente quer dizer é que u β ∂ β u α ≪ μ ∂ 2 β u α . Isso justifica a simplificação das equações dizendo que u β ∂ β u α ≈ 0, o que significa fisicamente que termos inerciais são completamente desprezíveis em comparação com termos viscosos. u β ∂ β u α ≈ 0 não implica ∂ β u∂βvocêα≈ 0 vocêβ∂βvocêα≪ μ ∂2βvocêα vocêβ∂βvocêα≈ 0 vocêβ∂βvocêα≈ 0 ao contrário, a baixa vazão implica u β ≈ 0 enquanto ∂ β u α pode ser significativo. Considere a estimativa da ordem de magnitude de ∂ β u α ∼ U / L ; para pequenos valores de L (contribui para baixo R e ), pode ser muito maior que a ordem O ( U ) . Uma análise de ordem de magnitude semelhante dos termos viscosos ∂ 2 β u α ∼ U / L 2∂βvocêα≈ 0 vocêβ≈ 0 ∂βvocêα ∂βvocêα∼ U/ L eu R e O ( U) ∂2βvocêα∼ U/ L2 mostra que estes serão ainda mais significativos. Portanto, a razão pela qual os termos inerciais são desprezíveis, mas os termos viscosos não.
fonte
fonte