Qual é a diferença entre "espaço de código", "palavra de código" e "código do estabilizador"?

Continuo lendo (por exemplo, Nielsen e Chuang, 2010; págs. 456 e 465) as três fases seguintes; "código de espaço", "palavra de código" e "código do estabilizador" - mas estou com dificuldade para encontrar definições delas e, mais importante, como elas diferem umas das outras.

Minha pergunta é, portanto; como esses três termos são definidos e como eles estão relacionados?

Espaços de código e palavras de código

Um código de correção de erro quântico é frequentemente identificado com o espaço de código (Nielsen e Chuang certamente parecem fazê-lo). O espaço de código $\mathcal C$ de, por exemplo, um código de correção de erro quântico de $n$ bits é um subespaço vetorial $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ .

Uma palavra de código (terminologia que foi emprestada da teoria clássica da correção de erros) é um estado para um código-espaço, isto é, é um estado que codifica alguns dados.$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

Códigos de correção de erros quânticos

Na prática, exigimos algumas propriedades não triviais para conter um código de correção de erro quântico, como:

• $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
• Que existe um conjunto de pelo menos dois operadores, incluindo o operador , tal que - se é o projetor ortogonal em - temos para alguns escalares (conhecidos como condições de Knill – Laflamme ).$\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$$E_1 = \mathbb 1$$P$$\mathcal C$ $$P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$$ $\alpha_{j,k}$

Isso determina algum conjunto de operadores de erro contra os quais você pode, em princípio, proteger um estado , pois se as condições de Knill – Laflamme mantiverem um conjunto de operadores e algum operador age em seu estado, é possível, em princípio, detectar o fato de que ocorreu (em oposição a outro operador em ) e desfazer o erro, sem interromper os dados armazenados no estado original .$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$\mathcal E$$E \in \mathcal E$$E$$\mathcal E$$\lvert \psi \rangle$

Um código de correção de erro quântico é um espaço de código , junto com um conjunto de operadores de erro que atendem às condições de Knill – Laflamme - ou seja, um código de correção de erro quântico deve especificar quais erros ele deve proteger. .$\mathcal C$$\mathcal E$

Por que é comum identificar códigos de correção de erros quânticos com seus espaços de código

Você não pode determinar um conjunto único de operadores que satisfaçam as condições Knill-LaFlamme a partir do código-space sozinho. No entanto, é mais comum considerar quais operadores de baixo peso (que atuam apenas em um pequeno número de qubits) podem ser simultaneamente corrigidos por um código e, em certa medida, isso pode ser derivado apenas do espaço de código. A distância do código de um espaço de código é o menor número de qubits em que você precisa agir, para transformar uma "palavra-código" em uma palavra-chave distinta . Se descrevermos um espaço de código como sendo um$\mathcal E$$\mathcal C$$\mathcal C$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$$[\![n,k,d]\!]$ , isso indica que tem dimensão , e que o conjunto que consideramos é o conjunto de todos os operadores Pauli com peso no máximo .$\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$$2^k$$\mathcal E$$\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

Em alguns casos, descrever um código como um código É suficiente. Por exemplo, o código de 5 qubit é um código , E é possível mostrar que cinco qubits não podem codificar um único qubit de forma que outros erros possam ser corrigidos além de todos os erros de qubit único. No entanto, o mesmo não se aplica ao código Steane , Que pode proteger contra qualquer erro de Pauli de um qubit único, bem como alguns (mas não todos) erros de Pauli de dois qubit. Quais erros Pauli de dois qubit você deve$[\![n,k,d]\!]$$[\![5,1,3]\!]$$[\![7,1,3]\!]$proteger contra depende de qual é o seu modelo de erro; e se seu ruído for simétrico e distribuído independentemente, não importará muito o que você escolher (para que você provavelmente faça a escolha convencional de qualquer erro único junto com qualquer erro único ). É, no entanto, uma escolha , e uma que guiará como você protege seus dados contra ruídos.$X$$Z$

Códigos do estabilizador

Um código estabilizador é um código de correção de erro quântico determinado por um conjunto de geradores estabilizadores , que são operadores Pauli que se comutam entre si e que definem um espaço de código pela interseção de seus espaços + 1-eigens. (Geralmente é útil considerar o grupo estabilizador formado por produtos de )$\mathscr S$$\mathcal C$ $\mathcal G$$P \in \mathscr S$

Quase todos os códigos de correção quântica de erros que as pessoas consideram na prática são códigos estabilizadores. Essa é uma das razões pelas quais você pode ter problemas para distinguir os dois termos. No entanto, não exigimos que um código de correção de erro quântico seja um código estabilizador - assim como, em princípio, não exigimos que um código de correção de erro clássico seja um código linear. Os códigos estabilizadores são uma maneira extremamente bem-sucedida de descrever códigos de correção de erros quânticos, assim como os códigos lineares de correção de erros são uma maneira extremamente bem-sucedida de descrever códigos clássicos de correção de erros. E, de fato, os códigos estabilizadores podem ser considerados como uma generalização natural da teoria dos códigos lineares clássicos para a correção quântica de erros.

Como as pessoas geralmente se interessam apenas pelos operadores de baixo peso, que estão a menos da metade da distância do código, o conjunto de estabilizadores é o que costumam dizer sobre um código de correção do estabilizador. No entanto, para especificar o conjunto de erros contra os quais o código pode proteger, é necessário também especificar um relacionamento entre os operadores de produtos Pauli e os subconjuntos , de modo que$\mathcal E$$\sigma$$E$$S \subseteq \mathscr S$

• $E$ anticomuta com se e somente se para ;$P \in \mathscr S$$P \in S$$\sigma(E,S)$
• Se satisfazem e , então .$E, E'$$\sigma(E,S)$$\sigma(E',S)$$E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

Isso define um conjunto de erros contra os quais o código pode proteger. Os subconjuntos são chamados síndromes de erro , e a relação que eu chamei aqui (que você normalmente não vê com um nome explícito) associa síndromes a um ou mais erros que 'causam' essa síndrome e cujos efeitos no código são equivalentes.

'Síndromes' representam informações que podem realmente ser obtidas sobre um erro por 'medição coerente' - isto é, medindo os operadores como observáveis ​​(um processo que geralmente é simulado por estimativa de valor próprio). Um erro 'causa' uma síndrome se, para qualquer palavra-código , o estado estiver no espaço e de todos operadores , e no -eigenspace de todos os outros operadores em . (Esta propriedade está diretamente relacionada à anticomutação de com todos os elementos de$P \in \mathscr S$$E$$S \subseteq \mathscr S$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$E \lvert \psi \rangle$$-1$$P \in S$$+1$$\mathscr S$$E$$S \subseteq \mathscr S$ e apenas esses elementos.)

Uma palavra de código (para um código quântico) é um estado quântico normalmente associado a um estado na base lógica. Portanto, você terá algum estado que corresponde ao estado 0 do qubit a ser codificado (você não precisa usar qubits, mas provavelmente o é) e terá outro que é que corresponde ao estado 1 do qubit a ser codificado.$|\psi_0\rangle$$|\psi_1\rangle$

O espaço de código é o espaço estendido pelas palavras de código, ou seja, todo o espaço para todos os possíveis e (normalizados).$\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$$\alpha$$\beta$

Um código estabilizador é um formalismo possível para dizer como elaborar as palavras de código e, portanto, o espaço de código. Para um código [[n, k, d]], você recebe operadores de estabilizadores nk ( ) que se comutam mutuamente e agem em n qubits. Qualquer estado no espaço de código satisfaz . Além disso, você terá os operadores e para que todos comutarão com os estabilizadores mas anticomudimento em pares, , para subscrições correspondentes. Eles definem os operadores lógicos de Pauli para o código, e as palavras de código são, portanto, os estados que satisfazem$S$$S^2=\mathbb{I}$$|\psi\rangle$$S|\psi\rangle=|\psi\rangle$$Z_m$$X_m$$m=1,\ldots k$$S$$\{Z_m,X_m\}=0$$Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$ .

Em um código de correção de erro quântico, você armazena vários qubits lógicos , , em um estado de muitos qubits físicos, .$k$$n$

Uma palavra de código é um estado dos qubits físicos que está associado a um estado lógico específico. Portanto, por exemplo, no entanto, você armazena o estado para um de seus qubits lógicos é uma palavra de código.$|0\rangle$

O espaço de código é o espaço de Hilbert estendido por todas as palavras de código possíveis. Para um código estabilizador, este termo é sinônimo de espaço do estabilizador. Qualquer estado nesse espaço de código é uma palavra de código

Um código estabilizador é um código de correção de erro quântico descrito pelo formalismo do estabilizador. O espaço do estabilizador é definido como o espaço e mútuo dos produtos tensores independentes e alternados dos operadores Pauli.$+1$$n-k$