Conexão entre geradores estabilizadores e matrizes de verificação de paridade no código Steane

Estou trabalhando com Mike e Ike (Nielsen e Chuang) para auto-estudo, e estou lendo sobre códigos estabilizadores no Capítulo 10. Sou engenheiro elétrico com alguma experiência em teoria clássica da informação, mas sou de maneira alguma um especialista em teoria de codificação algébrica. Minha álgebra abstrata é essencialmente um pouco mais do que está no apêndice.

Eu acho que entendo totalmente a construção Calderbank-Shor-Steane, onde dois códigos clássicos lineares são usados ​​para construir um código quântico. O código Steane é construído usando (o código para qbit flips) como o código [7,4,3] Hamming e (o código para fase vira) como o mesmo código. A matriz de verificação de paridade, o código [7,4,3] é: .$C_1$$C_2^{\perp}$

$$\begin{bmatrix} 0&0&0&1&1&1&1 \\ 0&1&1&0&0&1&1 \\ 1&0&1&0&1&0&1 \end{bmatrix}$$

Os geradores estabilizadores para o código Steane podem ser escritos como:

$$\begin{array} {|r|r|} \hline Name & Operator \\ \hline g_1 & IIIXXXX \\ \hline g_2 & IXXIIXX \\ \hline g_3 & XIXIXIX \\ \hline g_4 & IIIZZZZ \\ \hline g_5 & IZZIIZZ \\ \hline g_6 & ZIZIZIZ \\ \hline \end{array}$$ onde, para o bem da minha sanidade, $IIIXXXX = I \otimes I\otimes I\otimes X \otimes X \otimes X \otimes X$ às vezes, às vezes, às vezes, às vezes, às vezes, às vezes, às vezes.

É apontado no livro que o $X$ s e $Z$ s estão nas mesmas posições que os $1$ s no código de verificação de paridade originais. O Exercício 10.32 pede para verificar se as palavras de código do código Steane estão estabilizadas por este conjunto. Obviamente, eu poderia conectar e verificar manualmente. No entanto, afirma-se que, com a observação das semelhanças entre a matriz de verificação de paridade e o gerador, o exercício é "auto-evidente".

Eu já vi esse fato observado em outros lugares ( http://www-bcf.usc.edu/~tbrun/Course/lecture21.pdf ), mas estou sentindo falta de algum tipo de intuição (provavelmente óbvia). Acho que estou perdendo alguma conexão adicional das palavras de código clássicas com os códigos quânticos que não sejam como eles são usados ​​na indexação de elementos básicos na construção do código (ou seja, Seção 10.4.2).

Existem algumas convenções e intuição aqui, que talvez ajudassem a ser explicadas -$\def\ket#1{\lvert#1\rangle}\def\bra#1{\!\langle#1\rvert}$

• Bits de sinal versus {0,1} bits
  
  O primeiro passo é fazer o que às vezes é chamado de 'grande mudança de notação' e pensar nos bits (mesmo bits clássicos) como sendo codificados em sinais. Isso é produtivo se o que você mais interessa são as paridades das cadeias de bits, porque os movimentos de bits e de sinal agem basicamente da mesma maneira. Nós mapear e , de modo que por exemplo a sequência de bits seria representada pela sequência de sinais .$0 \mapsto +1$$1 \mapsto -1$$(0,0,1,0,1)$$(+1,+1,-1,+1,-1)$

  Paridades de sequências de bits correspondem então a produtos de sequências de sinais. Por exemplo, assim como reconheceríamos como uma computação de paridade, podemos reconhecer como representando a mesma computação de paridade usando a convenção de sinal. Exercício. Calcule a 'paridade' de e de . São os mesmos?$0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 0$$(+1)\cdot(+1)\cdot(-1)\cdot(+1)\cdot(-1) = +1$
  
  $(-1,-1,+1,-1)$$(+1,-1,+1,+1)$
  
  

• Verificações de paridade usando bits de sinal
  
  Na convenção de {0,1} bits, as verificações de paridade têm uma boa representação como um produto pontual de dois vetores booleanos, para que possamos realizar cálculos de paridade complicados como transformações lineares. Ao mudar para bits de sinal, perdemos inevitavelmente a conexão com a álgebra linear em um nível notacional , porque estamos usando produtos em vez de somas. No nível computacional, porque essa é apenas uma mudança na notação, não precisamos nos preocupar muito. Mas, em um nível matemático puro, agora precisamos pensar um pouco novamente sobre o que estamos fazendo com matrizes de verificação de paridade.

  Quando usamos bits de sinal, ainda podemos representar uma 'matriz de verificação de paridade' como uma matriz de 0s e 1s, em vez de sinais ± 1. Por quê? Uma resposta é que um vetor de linha que descreve uma verificação de paridade de bits é de um tipo diferente da sequência de bits em si: descreve uma função nos dados, não nos dados em si. A matriz de 0s e 1s agora requer apenas uma interpretação diferente - em vez de coeficientes lineares em uma soma, eles correspondem a expoentes em um produto. Se tivermos bits de sinal $(s_1, s_2, \ldots, s_n) \in \{-1,+1\}^n$ , e queremos calcular uma verificação de paridade fornecida por um vetor de linha$(b_1, b_2, \ldots, b_n) \in \{0,1\}$ , a verificação de paridade é então calculada por

  $$(s_1)^{b_1} \cdot (s_2)^{b_2} \cdot [\cdots] \cdot (s_n)^{b_n} \in \{-1,+1\},$$ onde recordar que $s^0 = 1$ para todos os $s$ . Assim como ocorre com os bits {0,1}, você pode pensar na linha $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ como apenas representando uma 'máscara' que determina quais bits $s_j$ fazem uma contribuição não trivial à paridade computação.

  Exercício. Calcule o resultado da verificação de paridade $(0,1,0,1,0,1,0)$ em $(+1,-1,-1,-1,-1,+1,-1)$ .
  
  

• Autovalores como paridades.
  
  A razão pela qual desejamos codificar bits em sinais na teoria da informação quântica é por causa da maneira como a informação é armazenada em estados quânticos - ou, mais precisamente, pela maneira como podemos descrever o acesso a essa informação. Especificamente, podemos falar muito sobre a base padrão, mas a razão pela qual é significativa é porque podemos extrair essas informações medindo um observável .

  Este observável poderia ser apenas o projetor $\ket{1}\bra{1}$onde$\ket{0}$ tem autovalor 0 e$\ket{1}$ tem valor próprio 1, mas é frequentemente útil preferem descrever as coisas em termos das matrizes de Pauli. Nesse caso, falaríamos sobre a base padrão como a base própria dooperador$Z$ ; nesse caso, temos$\ket{0}$ como o +1-eigenvector de Ze$\ket{1}$ como a -1-eigenvector de Z.

  Então: temos o surgimento de bits de sinal (neste caso, autovalores) como representando as informações armazenadas em um qubit. E melhor ainda, podemos fazer isso de uma maneira que não é específica da base padrão: podemos falar sobre informações armazenadas na base 'conjugada', apenas considerando se o estado é um eigenstado de $X$ e qual o valor próprio que ele possui. . Mais do que isso, porém, podemos falar sobre os autovalores de um operador Pauli de múltiplos qubit como paridades de codificação de múltiplos bits - o produto tensorial $Z \otimes Z$ representa uma maneira de acessar o produto dos bits de sinal., ou seja, a paridade, de dois qubits na base padrão. Nesse sentido, o autovalor de um estado em relação a um operador Pauli de múltiplos qubit - se esse autovalor for definido ( ou seja,  no caso em que o estado é um autovalor do operador Pauli) - é efetivamente o resultado de um cálculo de paridade de informações armazenadas em alguma opção de base para cada um dos qubits.

  Exercício. Qual é a paridade do estado $\ket{11}$ com respeito a $Z \otimes Z$ ? Esse estado tem uma paridade bem definida em relação a $X \otimes X$ ?
  
  Exercício. Qual é a paridade do estado $\ket{+-}$ com respeito a $X \otimes X$ ? Esse estado tem uma paridade bem definida em relação a $Z \otimes Z$ ?
  
  Exercício. Qual é a paridade de $\ket{\Phi^+} = \tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\ket{00} + \ket{11}\bigr)$com respeito a$Z \otimes Z$e$X \otimes X$?
  
  

• Geradores estabilizadores como verificação de paridade.
  
  Agora estamos em posição de apreciar o papel dos geradores estabilizadores como sendo análogos a uma matriz de verificação de paridade. Considere o caso do código CSS de 7 qubit, com geradores

  $$\begin{array} {|r|ccccccc|} \hline \scriptstyle\text{Generator} & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\scriptstyle\text{Tensor factors}\!\!\!\!\!\!\!\!\! & & & \\[-0.5ex] & \scriptstyle1 & \scriptstyle2 & \scriptstyle3 & \scriptstyle4 & \scriptstyle5 & \scriptstyle6 & \scriptstyle7 \\ \hline \hline g_1 & & & & X & X & X & X \\ \hline g_2 & & X & X & & & X & X \\ \hline \hline g_3 & X & & X & & X & & X \\ \hline g_4 & & & & Z & Z & Z & Z \\ \hline g_5 & & Z & Z & & & Z & Z \\ \hline g_6 & Z & & Z & & Z & & Z \\ \hline \end{array}$$ Eu omiti os fatores tensores de identidade acima, pois às vezes é possível omitir os 0s de uma matriz {0,1} e pelo mesmo motivo: em um determinado operador estabilizador, a matriz de identidade corresponde a um fator tensorial que não é incluído na 'máscara' de qubits para a qual estamos computando a paridade. Para cada gerador, estamos interessados ​​apenas nos fatores tensores que estão sendo acionados de alguma forma, porque esses contribuem para o resultado da paridade.

  Agora, as 'palavras de código' (os estados básicos codificados) do código CSS de 7 qubit são fornecidas por

  $$\begin{align} \ket{0_L} \propto{}&{} \ket{0000000} + \ket{0001111} + \ket{0110011} + \ket{0111100} \\&+ \ket{1010101} + \ket{1011010} + \ket{1100110} + \ket{1101001} = \sum_{y \in C} \ket{y}, \\[1ex] \ket{1_L} \propto{}&{} \ket{1111111} + \ket{1110000} + \ket{1001100} + \ket{1000011} \\&+ \ket{0101010} + \ket{0100101} + \ket{0011001} + \ket{0010110} = \sum_{y \in C} \ket{y \oplus 1111111}, \end{align}$$ where $C$ is the code generated by the bit-strings $0001111$, $0110011$, and $1010101$. Notably, these bit-strings correspond to the positions of the $X$ operators in the generators $g_1$, $g_2$, and $g_3$. While those are stabilisers of the code (and represent parity checks as I've suggested above), we can also consider their action as operators which permute the standard basis. In particular, they will permute the elements of the code $C$, so that the terms involved in $\ket{0_L}$ and $\ket{1_L}$ will just be shuffled around.

  The generators $g_4$, $g_5$, and $g_6$ above are all describing the parities of information encoded in standard basis states. The encoded basis states you are given are superpositions of codewords drawn from a linear code, and those codewords all have even parity with respect to the parity-check matrix from that code. As $g_4$ through $g_6$ just describe those same parity checks, it follows that the eigenvalue of the encoded basis states is $+1$ (corresponding to even parity).

  This is the way in which

  'with the observation about the similarities between the parity check matrix and the generator the exercise is "self evident"'

  — because the stabilisers either manifestly permute the standard basis terms in the two 'codewords', or manifestly are testing parity properties which by construction the codewords will have.
  
  

• Moving beyond codewords

  The list of generators in the table you provide represent the first steps in a powerful technique, known as the stabiliser formalism, in which states are described using no more or less than the parity properties which are known to hold of them.

  Some states, such as standard basis states, conjugate basis states, and the perfectly entangled states $\ket{\Phi^+} \propto \ket{00} + \ket{11}$ and $\ket{\Psi^-} \propto \ket{01} - \ket{10}$ can be completely characterised by their parity properties. (The state $\ket{\Phi^+}$ is the only one which is a +1-eigenvector of $X \otimes X$ and $Z \otimes Z$; the state $\ket{\Psi^-}$ is the only one which is a −1-eigenvector of both these operators.) These are known as stabiliser states, and one can consider how they are affected by unitary transformations and measurements by tracking how the parity properties themselves transform. For instance, a state which is stabilised by $X \otimes X$ before applying a Hadamard on qubit 1, will be stabilised by $Z \otimes X$ afterwards, because $(H \otimes I)(X \otimes X)(H \otimes I) = Z \otimes X$. Rather than transform the state, we transform the parity property which we know to hold of that state.

  You can use this also to characterise how subspaces characterised by these parity properties will transform. For instance, given an unknown state in the 7-qubit CSS code, I don't know enough about the state to tell you what state you will get if you apply Hadamards on all of the qubits, but I can tell you that it is stabilised by the generators $g_j' = (H^{\otimes 7}) g_j (H^{\otimes 7})$, which consist of

  $$\begin{array} {|r|ccccccc|} \hline \scriptstyle\text{Generator} & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\scriptstyle\text{Tensor factors}\!\!\!\!\!\!\!\!\! & & & \\[-0.5ex] & \scriptstyle1 & \scriptstyle2 & \scriptstyle3 & \scriptstyle4 & \scriptstyle5 & \scriptstyle6 & \scriptstyle7 \\ \hline \hline g'_1 & & & & Z & Z & Z & Z \\ \hline g'_2 & & Z & Z & & & Z & Z \\ \hline \hline g'_3 & Z & & Z & & Z & & Z \\ \hline g'_4 & & & & X & X & X & X \\ \hline g'_5 & & X & X & & & X & X \\ \hline g'_6 & X & & X & & X & & X \\ \hline \end{array}$$ This is just a permutation of the generators of the 7-qubit CSS code, so I can conclude that the result is also a state in that same code.

  There is one thing about the stabiliser formalism which might seem mysterious at first: you aren't really dealing with information about the states that tells you anything about how they expand as superpositions of the standard basis. You're just dealing abstractly with the generators. And in fact, this is the point: you don't really want to spend your life writing out exponentially long superpositions all day, do you? What you really want are tools to allow you to reason about quantum states which require you to write things out as linear combinations as rarely as possible, because any time you write something as a linear combination, you are (a) making a lot of work for yourself, and (b) preferring some basis in a way which might prevent you from noticing some useful property which you can access using a different basis.

  Still: it is sometimes useful to reason about 'encoded states' in error correcting codes — for instance, in order to see what effect an operation such as $H^{\otimes 7}$ might have on the codespace of the 7-qubit code. What should one do instead of writing out superpositions?

  The answer is to describe these states in terms of observables — in terms of parity properties — to fix those states. For instance, just as $\ket{0}$ is the +1-eigenstate of $Z$, we can characterise the logical state $\ket{0_L}$ of the 7-qubit CSS code as the +1-eigenstate of

  $$Z_L = Z \otimes Z \otimes Z \otimes Z \otimes Z \otimes Z \otimes Z$$ and similarly, $\ket{1_L}$ as the −1-eigenstate of $Z_L$. (It is important that $Z_L = Z^{\otimes 7}$ commutes with the generators $\{g_1,\ldots,g_6\}$, so that it is possible to be a +1-eigenstate of $Z_L$ at the same time as having the parity properties described by those generators.) This also allows us to move swiftly beyond the standard basis: using the fact that $X^{\otimes 7}$ anti commutes with $Z^{\otimes 7}$ the same way that $X$ anti commutes with $Z$, and also as $X^{\otimes 7}$ commutes with the generators $g_i$, we can describe $\ket{+_L}$ as being the +1-eigenstate of $$X_L = X \otimes X \otimes X \otimes X \otimes X \otimes X \otimes X,$$ and similarly, $\ket{-_L}$ as the −1-eigenstate of $X_L$. We may say that the encoded standard basis is, in particular, encoded in the parities of all of the qubits with respect to $Z$ operators; and the encoded 'conjugate' basis is encoded in the parities of all of the qubits with respect to $X$ operators.

  By fixing a notion of encoded operators, and using this to indirectly represent encoded states, we may observe that

  $$(H^{\otimes 7}) \,X_L\, (H^{\otimes 7}) = Z_L, \quad (H^{\otimes 7}) \,Z_L\, (H^{\otimes 7}) = X_L,$$ which is the same relation as obtains between $X$ and $Z$ with respect to conjugation by Hadamards; which allows us to conclude that for this encoding of information in the 7-qubit CSS code, $H^{\otimes 7}$ not only preserves the codespace but is an encoded Hadamard operation.
  
  

Thus we see that the idea of observables as a way of describing information about a quantum states in the form of sign bits — and in particular tensor products as a way of representing information about parities of bits — plays a central role in describing how the CSS code generators represent parity checks, and also in how we can describe properties of error correcting codes without reference to basis states.

One way that you could construct what the codeword is is to project on the $+1$ eigenspace of the generators,

$$|C_1\rangle=\frac{1}{2^6}\left(\prod_{i=1}^6(\mathbb{I}+g_i)\right)|0000000\rangle.$$ Concentrate, to start with, one the first 3 generators $$(\mathbb{I}+g_1)(\mathbb{I}+g_2)(\mathbb{I}+g_3).$$ If you expand this out, you'll see that it creates all the terms in the group ($\mathbb{I},g_1,g_2,g_3,g_1g_2,g_1g_3,g_2g_3,g_1g_2g_3)$. Corresponding it to binary strings, the action of multiplying two terms (since $X^2=\mathbb{I}$) is just like addition modulo 2. So, contained within the code are all of the words generated by the parity check matrix (and this is a group, with group operation of addition modulo 2).

Now, if you multiply by one of the $X$ stabilizers, that's like doing the addition modulo 2 on the corresponding bit strings. But, because we've already generated the group, by definition every group element is mapped to another (unique) group element. In other words, if I do

$$g_1\times\{\mathbb{I},g_1,g_2,g_3,g_1g_2,g_1g_3,g_2g_3,g_1g_2g_3\}=\{g_1\mathbb{I},g_1g_2,g_1g_3,g_2,g_3,g_1g_2g_3,g_2g_3\},$$ I get back the set I started with (using $g_1^2=\mathbb{I}$, and the commutation of the stabilizers), and therefore I'm projecting onto the same state. Hence, the state is stabilized by $g_1$ to $g_3$.

You can effectively make the same argument for $g_4$ to $g_6$. I prefer to think about first applying a Hadamard to every qubit, so the Xs are changed to Zs and vice versa. The set of stabilizers are unchanged, so the code is unchanged, but the Z stabilizer is mapped to an X stabilizer, about which we have already argued.

What follows perhaps doesn't exactly answer your question, but instead aims to provide some background to help it become as 'self-evident' as your sources claim.

The $Z$ operator has eigenstates $|0\rangle$ (with eigenvalue $+1$) and $|1\rangle$ (with eigenvalue $-1$). The $ZZ$ operator on two qubits therefore has eigenstates

$$|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle$$ . The eigenvalues for these depend on the parity of the bit strings. For example, with $|00\rangle$ we multiply the $+1$ eigenvalues of the individual $Z$ operators to get $+1$. For $|11\rangle$ we multiply the $-1$ eigenvalues together and also get $+1$ for $ZZ$. So both these even parity bit strings have eigenvalue $+1$, as does any superposition of them. For both odd parity states ($|01\rangle$ and $|10\rangle$) we must multiply a $+1$ with a $-1$, and get a $-1$ eigenvalue for $ZZ$.

Note also that superpositions of bit strings with fixed parity (such as some $\alpha |00\rangle + \beta |00\rangle$) are also eigenstates, and have the eigenvalue associated with their parity. So measuring $ZZ$ would not collapse such a superposition.

This analysis remains valid as we go to higher number of qubits. So if we want to know about the parity of qubits 1, 3, 5, and 7 (to pick a pertinent example), we could use the operator $ZIZIZIZ$. If we measure this and get the outcome $+1$, we know that this subset of qubits has a state represented by an even parity bit string, or a superposition thereof. If we get $-1$, we know that it is an odd parity state.

This allows us to write the [7,4,3] Hamming code using the notation of quantum stabilizer codes. Each parity check is turned into a stabilizer generator which has $I$ on every qubit not involved in the check, and $Z$ on every qubit that is. The resulting code will protect against errors that anticommute with $Z$ (and therefore have the effect of flipping bits).

Of course, qubits do not restrict us to only working in the $Z$ basis. We could encode our qubits for a classical Hamming code in the $|+\rangle$ and $|-\rangle$ states instead. These are the eigenstates of $X$, so you just need to replace $Z$ with $X$ in everything I've said to see how this kind of code works. It would protect against errors that anticommute with $X$ (and so have the effect of flipping phase).

The magic of the Steane code, of course, is that it does both at the same time and protects against everything.