A equivalência local de Clifford tem uma representação gráfica direta para estados gráficos qudit de dimensão não primária?

Esta pergunta é um acompanhamento da pergunta anterior do QCSE: " Os estados do gráfico qudit estão bem definidos para a dimensão não primária? ". A partir da resposta da pergunta, parece que não há nada errado em definir estados gráfico usando $d$ qudits dimensionais, no entanto, parece que outros aspectos de definição de Graph-estados não semelhante estender-se a dimensão não-prime.

Especificamente, para estados de gráfico de qubit, um aspecto chave de sua prevalência e uso é o fato de que: quaisquer dois estados de gráfico são equivalentes a Clifford local, se e somente se houver alguma sequência de complementações locais que leva um gráfico ao outro (para simplificar, gráficos não direcionados). Escusado será dizer que esta é uma ferramenta incrivelmente útil nas análises de correção quântica de erros, emaranhamento e arquiteturas de rede.

Ao considerar estados gráfico -qudit, o gráfico é equivalente agora ponderados com matriz de adjacência , em que é o peso da aresta (com indicando que não há borda existe ) No caso qudit, demonstrou-se que a equivalência de LC pode ser estendida de maneira semelhante pela generalização da complementação local ( ) e pela inclusão de uma operação de multiplicação de arestas ( $n$ $A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$ $A_{ij}$ $(i,j)$ $A_{ij}=0$ $\ast_a v$ $\circ_b v$ ), Em ondee toda aritmética é realizada módulo.

\begin{aligned} *_{a} v & : A_{i j} \mapsto A_{i j} + a A_{v i} A_{v j} \forall i, j \in N_{G} (v), i \neq j \\ \circ_{b} v & : A_{v i} \mapsto b A_{v i} \forall i \in N_{G} (v), \end{aligned}

$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$

a, b = 1, \dots, d - 1

$a, b = 1, \ldots, d-1$

p

$p$

Graficamente, isso é representado pelas seguintes operações (reproduzidas da Ref. 2 ):

No entanto, se o estado do gráfico for definido em qudits de dimensão não primária, podemos ver que essas operações (parecem) falham em representar a equivalência de LC.

$|G\rangle$ $G$ $d=4$ $x=y=z=2$ $A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$ $\circ_2 1$ $A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$ $1$

Minha pergunta é: existe algum conjunto de operações gráficas que representem adequadamente a equivalência local de Clifford para estados de gráfico qudit de dimensão não primária?

Nota: Estou interessado principalmente em operações que se aplicam diretamente à representação de um estado como um gráfico ponderado único, em vez de decomposições possíveis em vários estados gráficos de dimensões primárias, conforme sugerido na seção 4.3 de " Estados do gráfico de qudit absolutamente emaranhados ".

entanglement qudit graph-states SLesslyTall
fonte

Desde que você criou os novos estados de gráfico de tags , poderia escrever o wiki de tags para ele? Vá aqui . Obrigado.

Sanchayan Dutta

A equivalência local de Clifford tem uma representação gráfica direta para estados gráficos qudit de dimensão não primária?

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