O que acontece se dois qubits emaranhados separadamente são passados ​​através de uma porta C-NOT?

Suponha que eu transforme um estado da seguinte maneira:

1. Começo com o estado .$\lvert 0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert 0 \rangle$
2. Eu envolvo o primeiro e o segundo qubits (com um portão H e C-NOT).
3. Então, emaranhar o terceiro e o quarto qubits da mesma maneira.

Se eu tentar aplicar o gate H e C-NOT no pós e no segundo e terceiro qubits, o sistema inteiro ficará enredado? O que acontece com o primeiro e o quarto qubits nesse caso?

( Publicação cruzada de Physics.SE )

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>} %$( | 0 ⟩ ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) + | 1 ⟩ ( | 0 ⟩ - | 1 ⟩ ) ) ⊗ ( | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ) / (

$$\left(\ket{00}+\ket{11}\right)\otimes\left(\ket{00}+\ket{11}\right)/2$$ (|0⟩⊗(|0⟩⊗(|00⟩+|11⟩)+|1⟩⊗(|10⟩+|01⟩))+|1⟩⊗(|0⟩⊗(|00⟩+|11⟩)-|1⟩⊗ $$(\ket{0}(\ket{0}+\ket{1})+\ket{1}(\ket{0}-\ket{1}))\otimes(\ket{00}+\ket{11})/(2\sqrt{2})$$ $$(\ket{0}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})+\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01}))+\ket{1}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})-\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01})))/(2\sqrt{2})$$ Vamos reorganizar isso levemente como Observe que precisamos do estado completo de todo o sistema. Você realmente não pode falar sobre os estados dos qubits 1 e 4 separadamente devido ao emaranhamento. $$\ket{\Psi}=((\ket{0}-\ket{1})\ket{1}(\ket{10}+\ket{01})+(\ket{0}+\ket{1})\ket{0}(\ket{00}+\ket{11}))/(2\sqrt{2})$$

A questão de "ele ainda está enredado" é diretamente "sim", mas essa é realmente uma trivialidade de uma questão muito mais complexa. Está entrelaçado no sentido de que não é um estado do produto .$\ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2}\otimes\ket{\psi_3}\otimes\ket{\psi_4}$

Uma maneira simples de ver que esse estado está enredado é escolher uma bipartição, ou seja, uma divisão dos qubits em duas partes. Por exemplo, vamos considerar o qubit 1 como uma parte (A) e todos os outros como parte B. Se calcularmos o estado reduzido da parte A, um estado do produto (sem emaranhados) teria que dar um estado puro. Enquanto isso, se o estado reduzido não for puro, ou seja, tiver uma classificação maior que 1, o estado estará definitivamente entrelaçado. Por exemplo, neste caso, possui a classificação 2. Na verdade, não não importa o que você fez entre os qubits 2 e 3, comoρ

$$\rho_A=\text{Tr}(\ket{\Psi}\bra{\Psi})=\frac{\mathbb{I}}{2},$$ $\rho_A$é independente dessa unidade; ele não pode remover o emaranhamento criado com o qubit 1 (possivelmente o espalhe entre os qubits 2 e 3). O fato de você precisar observar diferentes bipartições para ver quais qubits estão enredados e quais já começam a indicar um pouco da complexidade. Para estados puros, é suficiente examinar cada uma das bipartições de 1 qubit com as demais. Se cada uma dessas matrizes de densidade reduzida tiver classificação 1, todo o seu estado é separável.

Em relação à sua pergunta, você pode procurar questões de "monogamia do emaranhado" - quanto mais o qubit 1 emaranhado está no qubit 2, o qubit menos emaranhado 1 está no qubit 3 (por exemplo), e isso pode ser quantificado em várias maneiras diferentes. Da mesma forma, você pode fazer perguntas sobre "que tipo de envolvimento existe?". Uma abordagem é examinar quais tipos de emaranhamento podem ser convertidos em diferentes tipos (geralmente denominados "classes de equivalência SLOCC"). Por exemplo, com 3 qubits, as pessoas fazem a distinção entre entrelaçamento no estado W, que se parece com e o entrelaçamento de GHZ que se parece com , bem como entrelaçamento bipartido entre diferentes pares de qubits e um estado separável do outro.| 000 ⟩ + | 111 $\ket{001}+\ket{010}+\ket{100}$$\ket{000}+\ket{111}$