Galerkin descontínuo: vantagens e desvantagens de Nodal vs Modal

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Existem duas abordagens gerais para representar soluções no método descontínuo de galerkin: nodal e modal.

  1. Modal : As soluções são representadas por somas de coeficientes modais multiplicados por um conjunto de polinômios, por exemplo, onde geralmente é polinômio ortogonal , por exemplo, Legendre. Uma vantagem disso é que os polinômios ortogonais geram uma matriz de massa diagonal.você(x,t)=Eu=1 1NvocêEu(t)ϕEu(x)ϕEu

  2. Nodal : as células são compostas por vários nós nos quais a solução está definida. A reconstrução da célula é então baseada no ajuste de um polinômio interpolador, por exemplo, onde é um polinômio de Lagrange. Uma vantagem disso é que você pode posicionar seus nós em pontos de quadratura e avaliar rapidamente integrais.você(x,t)=Eu=1 1NvocêEu(x,t)euEu(x)euEu

No contexto de uma aplicação paralela complexa / não estruturada 3D em larga escala e complexa ( - DOFs) com objetivos de flexibilidade, clareza de implementação e eficiência, quais são as vantagens e desvantagens comparativas de cada método?106109

Tenho certeza de que já existe uma boa literatura, por isso, se alguém pudesse me indicar algo que seria ótimo também.

Aurelius
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Respostas:

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As compensações abaixo se aplicam igualmente a DG e a elementos espectrais (ou elementos finitos de versão ).p

Alterar a ordem de um elemento, como na adaptabilidade , é mais simples para bases modais, porque as funções de base existentes não são alteradas. Isso geralmente não é relevante para o desempenho, mas algumas pessoas gostam mesmo assim. As bases modais também podem ser filtradas diretamente para algumas técnicas de anti-aliasing, mas isso também não é um gargalo de desempenho. As bases modais também podem ser escolhidas para expor a escarsidade dentro de um elemento para operadores especiais (geralmente as matrizes de Laplacian e de massa). Isso não se aplica a elementos variáveis ​​ou não afins, e as economias não são enormes para a ordem modesta normalmente usada em 3D.p

Bases nodais simplificam a definição de continuidade de elementos, simplificam a implementação de condições de contorno, contato e similares, são mais fáceis de plotar e levam a melhoresh-elipticidade em operadores discretizados (permitindo assim o uso de smoothers / pré-condicionadores mais baratos). Também é mais simples definir conceitos usados ​​pelos solucionadores, como modos de corpo rígido (use apenas coordenadas nodais) e definir certos operadores de transferência de grade, como os que surgem em métodos multigrid. As discretizações incorporadas também estão prontamente disponíveis para pré-condicionamento, sem a necessidade de uma mudança de base. As discretizações nodais podem usar eficientemente a quadratura colocada (como nos métodos dos elementos espectrais), e a subintegração correspondente pode ser boa para a conservação de energia. O acoplamento entre elementos para equações de primeira ordem é mais escasso para as bases nodais, embora as bases modais sejam frequentemente modificadas para obter a mesma esparsidade.

Jed Brown
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Obrigado, bons pontos. Alguma visão sobre quadratura / integração e a implementação de limitadores para descontinuidades nas duas abordagens?
Aurelius
As funções base modal e nodal são geralmente projetadas para abranger o mesmo espaço. Adicionei uma nota sobre quadratura colocada. Nenhuma base linear de alta ordem pode capturar extremos diretamente; portanto, a implementação de limitadores é muito semelhante aos métodos com os quais estou familiarizado.
Jed Brown
Obrigado novamente, aceitando esta resposta. Uma última pergunta subjetiva: se você estivesse iniciando um novo projeto de CFD de uso geral, alavancando algo como petsc, teria uma forte preferência por nodal versus modal?
Aurelius
Eu acho que métodos nodais são quase sempre mais práticos. As operações que são "mais elegantes" para bases modais não são gargalos.
Jed Brown
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Fiquei curioso para ver algumas respostas a essa pergunta, mas de alguma forma ninguém se incomoda em responder ...

Em relação à literatura, gosto muito do livro Métodos de elemento Spectral / hp para dinâmica de fluidos computacional (agora há uma versão mais barata de capa mole) e também do livro de Hesthaven e Warburton . Esses dois apresentam alguns detalhes que o ajudarão a implementar os métodos. O livro de Canuto, Hussaini, Quarteroni e Zang é mais teórico. Este também possui um segundo volume "Métodos espectrais: evolução para geometrias complexas e aplicações à dinâmica de fluidos".

Não trabalho nos métodos de DG e não sou especialista em julgar as vantagens de nodal vs. modal. O livro de Karniadakis & Sherwin é mais focado em métodos com expansões modais contínuas . Nesse tipo de método, você é obrigado a reordenar os modos em dois elementos vizinhos de maneira que os modos correspondentes na interface correspondam a fim de preservar a continuidade da expansão global. Além disso, a imposição de condições de contorno exige atenção extra, pois seus modos não estão associados a um local específico no contorno.

Espero que alguém familiarizado com esse tipo de método adicione mais detalhes.

Martin Vymazal
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Obrigado, estou chateado por não ter recebido boas respostas aqui também! Eu tenho os livros Karniadakis / Sherwin (modal e contínuo) e Hesthaven / Warburton (nodal) e também os recomendo. Estou confortável com as implementações, são apenas os prós / contras que não estão claros para mim.
Aurelius