Por que a conservação local é importante na solução de PDEs?

Os engenheiros geralmente insistem em usar métodos conservadores localmente, como volume finito, diferença finita conservadora ou métodos descontínuos de Galerkin para resolver PDEs.

O que pode dar errado ao usar um método que não é localmente conservador?

Ok, então a conservação local é importante para os PDEs hiperbólicos, e os PDEs elípticos?

Na solução de EDPs hiperbólicas não lineares, as descontinuidades ("choques") aparecem mesmo quando a condição inicial é suave. Na presença de descontinuidades, a noção de solução só pode ser definida no sentido fraco. A velocidade numérica de um choque depende das condições corretas de Rankine-Hugoniot sendo impostas, o que, por sua vez, depende de satisfazer numericamente a lei de conservação integral localmente. O teorema de Lax-Wendroff garante que um método numérico convergente convergirá para uma solução fraca da lei de conservação hiperbólica somente se o método for conservador.

Você não precisa apenas usar um método conservador, mas também um método que economize as quantidades certas. Há um bom exemplo que explica isso nos "Métodos de volume finito para problemas hiperbólicos" de LeVeque, Seção 11.12 e Seção 12.9. Se você discretizar a equação de Burgers

$$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$$

através da discretização consistente

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$$

você observará que os choques se movem na velocidade errada, não importa quanto você refine a grade. Ou seja, a solução numérica não convergirá para a solução verdadeira . Se você usar a discretização conservadora

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$$

com base na diferenciação de fluxo, os choques se moverão na velocidade correta (que é a média dos estados à esquerda e à direita do choque, para esta equação). Este exemplo é ilustrado em neste caderno IPython que escrevi .

Para PDEs hiperbólicas lineares e para outros tipos de PDEs que normalmente têm soluções suaves, a conservação local não é um ingrediente necessário para a convergência. No entanto, isso pode ser importante por outros motivos (por exemplo, se a massa total for uma quantidade de interesse).

Eu acho que uma resposta para sua pergunta é que certas comunidades simplesmente sempre usam esquemas conservadores e, portanto, isso se tornou parte do "modo como é feito". Pode-se argumentar se essa é a melhor maneira de fazê-lo, mas isso é tão proveitoso quanto pedir aos britânicos que dirijam à direita, porque seria mais conveniente ter apenas do lado padrão.

$$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$$ Aqui, parte do problema é resolver o Laplace misto que compõe as duas primeiras equações, uma tarefa tradicionalmente realizada usando elementos de Raviart-Thomas. Eles são frequentemente escolhidos por causa da "importância de garantir a conservação em massa" e, em certo sentido, eu posso entender que: se você terminar com um campo de velocidade que não seja conservador em massa, obterá uma equação de saturação que não conserva o massa do fluido transportado. Claro que se pode argumentar que isso não seria tão ruim, porque tudo seria o mesmo no limite$h\rightarrow 0$, mas a insistência em garantir que essa propriedade seja válida mesmo para tamanhos de malha finitos faz algum sentido.

Muitas vezes, as equações a serem resolvidas representam uma lei de conservação física. Por exemplo, as equações de Euler para dinâmica de fluidos são representações de conservação de massa, momento e energia. Dado que a realidade subjacente que estamos modelando é conservadora, é vantajoso escolher métodos que também sejam conservadores

Você também pode ver algo semelhante com os campos eletromagnéticos. As leis de Maxwell incluem a condição livre de divergências para o campo magnético, mas essa equação nem sempre é usada para a evolução dos campos. Um método que conserva essa condição (por exemplo: transporte restrito) ajuda a corresponder à física da realidade.

Edit: @hardmath apontou que eu esqueci de abordar a parte "o que poderia dar errado" da pergunta (Obrigado!). A pergunta refere-se especificamente a engenheiros, mas darei alguns exemplos de meu próprio campo (astrofísica) e espero que eles ajudem a ilustrar as idéias o suficiente para generalizar o que pode dar errado em um aplicativo de engenharia.

(1) Ao simular uma supernova, você tem uma dinâmica de fluidos vinculada a uma rede de reação nuclear (e outra física, mas nós a ignoraremos). Muitas reações nucleares dependem fortemente da temperatura, que (para uma aproximação de primeira ordem) é uma medida da energia. Se você não economizar energia, sua temperatura será muito alta (nesse caso, suas reações correrão muito rápidas e você introduzirá muito mais energia e obterá uma fuga que não deveria existir) ou muito baixa (nesse caso, suas reações correr muito devagar e você não pode alimentar uma supernova).

(2) Ao simular estrelas binárias, é necessário reformular a equação do momento para conservar o momento angular. Se você não conservar o momento angular, suas estrelas não poderão orbitar-se corretamente. Se eles ganham impulso angular extra, eles se separam e param de interagir corretamente. Se o momento angular perde, eles colidem um com o outro. Problemas semelhantes ocorrem ao simular discos estelares. A conservação do momento (linear) é desejável, porque as leis da física conservam o momento linear, mas às vezes você precisa abandonar o momento linear e conservar o momento angular, porque isso é mais importante para o problema em questão.

Devo admitir que, apesar de citar a condição livre de divergência dos campos magnéticos, não sou tão experiente lá. A falha em manter a condição livre de divergência pode gerar monopólos magnéticos (dos quais não temos evidências atualmente), mas não tenho bons exemplos de problemas que possam causar em uma simulação.

Hoje me deparei com uma tese O Esquema EMAC para Simulações de Navier-Stokes, e a Aplicação aos Fluxos de Bluff Passados e observe que a Seção 1.2 dela responde à pergunta da OP, pelo menos parcialmente. As partes relevantes são:

Acredita-se amplamente na comunidade de dinâmica dos fluidos computacional ( CFD ) que quanto mais física é incorporada à discretização, mais precisas e estáveis ​​são as soluções discretas, especialmente em intervalos de tempo mais longos. N. Phillips, em 1959 [42], construiu um exemplo para a equação de vorticidade não-linear barotrópica (usando um esquema de diferenças finitas), onde a integração de longo prazo dos termos da convecção resulta em uma falha nas simulações numéricas para qualquer etapa do tempo. Em [4] Arakawa mostrou que é possível evitar problemas de instabilidade com a integração por um longo tempo se a energia cinética e a enstrofia (em 2D) forem conservadas por um esquema de discretização. ... Em 2004, Liu e Wang desenvolveram que conserva helicity e energia para fluxos tridimensionais. Em [35] , eles apresentam um esquema de preservação de energia e helicóptero para fluxos axissimétricos. Eles também mostram que seu esquema de dupla conservação elimina a necessidade de grande viscosidade numérica não física. ...

… Sabe-se há décadas no CFD que quanto mais quantidades físicas são conservadas por um esquema de elementos finitos, mais precisa é a previsão, especialmente em longos intervalos de tempo. Assim, as soluções fornecidas por um esquema mais preciso fisicamente também são mais relevantes fisicamente. Se alguém puder oferecer uma malha totalmente resolvida e um intervalo de tempo infinitamente pequeno, acredita-se que todos os esquemas de elementos finitos comumente usados ​​forneçam as mesmas soluções numéricas. No entanto, na prática, não se pode permitir uma malha totalmente resolvida em simulações em 3D, especialmente para problemas dependentes do tempo. Por exemplo, no capítulo 2, precisamos de 50 a 60 mil etapas, em que cada etapa requer a solução de um sistema linear esparso com 4 milhões de incógnitas. Isso exigiu 2-3 semanas de tempo computacional com código altamente paralelo em 5 nós com 24 núcleos cada.