Integração radial de funções caras com pesos de Bessel

Preciso calcular a integral

$$I = \int_0^R f(r)J_n\left(\frac{z_{nm}r}{R}\right)rdr$$

onde é a função de Bessel da ordem do primeiro tipo, é seu m t h zero ef ( r ) é uma função real que é um pouco semelhante a J n (mas não do mesmo modo, é bastante complicado e geralmente envolve termos com J 2 n e às vezes exp ( J n ) ).n t $J_n$$n^{\mathrm{th}}$$z_{nm}$$m^{\mathrm{th}}$$f(r)$$J_n$$J_n^2$$\exp(J_n)$

Como é extremamente caro e essa integral deve ser avaliada muitas vezes, estou procurando o melhor método numérico (muito rápido, mas ainda razoavelmente preciso) para resolvê-lo. Atualmente, estou usando a regra trapezoidal com 11 pontos. Mas estou investigando outros métodos, como Clenshaw-Curtis e Gauss-Kronrod (com ordem baixa).$f(r)$

Mas estou me perguntando se existe um método particularmente adequado para essas integrais, especialmente porque é semelhante ao necessário para calcular as transformações de Hankel.

Para a transformação de Hankel, pode-se classificar os métodos em quatro grupos principais:

1. Baseado em quadratura numérica.
2. Os baseados em Fourier.
3. Expansão assintótica de Bessel em senos e cossenos.
4. Métodos de fatia de projeção.

O documento a seguir fornece uma boa visão geral desses métodos (tipos de métodos):

• MJ Cree e PJ Bones, "Algoritmos para avaliar numericamente a transformação de Hankel", Comp. Matemática. Appl. vol. 26, n. 1, pp. 1–12, julho de 1993 .

De acordo com este artigo (p. 3, seção 4):

A principal desvantagem da regra trapezoidal é sua baixa eficiência computacional. ... o método trapezoidal foi considerado quase sempre tão confiável quanto qualquer outro método testado. ... achamos útil como referência para testar algoritmos mais eficientes.

Portanto, duas direções são possíveis:

1. Encontre uma regra de quadratura numérica mais eficiente.
2. Siga a direção da transformação de Hankel.

$n$$f(r)$$f(r)$$f(r)$ .

$f(r)$

• R. Barakat e E. Parshall, "Avaliação numérica da transformada de Hankel de ordem zero usando a filosofia da quadratura de Filon", Appl. Matemática. Lett. vol. 9, n. 5, pp. 21–26, setembro de 1996.

Na direção 2, aconselho a tentar desenvolver alguma forma de métodos de fatia de projeção . Pessoalmente, não estou ciente de um método pronto desse tipo desenvolvido para sua integral.

As seguintes referências podem ser úteis (também para a quadratura de Filon):

• $0$

$f(r)$

• L. Knockaert, "Transformação rápida de Hankel por transformações rápidas de seno e cosseno: a conexão de Mellin", IEEE Trans. Processamento de Sinais , vol. 48, n. 6, pp. 1695–1701, junho de 2000.