Existem métodos aprimorados de calcular a seguinte expressão?

dada uma matriz simétrica , e uma matriz arbitrária X ∈ R n × n , e um vetor v ∈ R n × 1 , é possível calcular a seguinte expressão no tempo O ( n 2 ) ?$Y \in \mathbb{R}^{n \times n}$$X \in \mathbb{R}^{n \times n}$$v \in \mathbb{R}^{n \times 1}$$O(n^2)$

onde retorna um n × n matriz com os seus principais elementos diagonais iguais aos dos X e elementos fora da diagonal igual a 0, e X T é a transposta de X .$diag(X)$$n \times n$$X$$X^T$$X$

Deixe-me tentar ajudar, mas, por favor, corrija-me se estiver errado, porque estou tirando isso do meu chapéu:

Vou apenas expandir o cálculo para ajudar a ver o que está acontecendo.

Vamos escrever $A = (X^TY)$

assim que você quer computação para cada $\sum_k{a_{ik}x_{ki}\nu_i}$$i$

e $a_{ik}=\sum_l{x_{li}y_{lk}}$

que éO(n3).$\left(diag(X^TYX)⋅v\right)_i =\sum_k{\sum_l{x_{li}y_{lk}}x_{ki}\nu_i}$$O(n^3)$

$Y$$y_{lk}=y_{kl}$$x_{li}x_{ki}$$k$$l$

$\left(diag(X^TYX)⋅v\right)_i = 2\times\sum_k{\sum_{l>k}{x_{li}y_{lk}}x_{ki}\nu_i} + \sum_{k}{x_{ki}y_{kk}x_{ki}\nu_i}$

$n$$\frac{n(n+1)}{2}$$2$$n$