Observação intrigante sobre a região de estabilidade do método Runge-Kutta de quinta ordem

Me deparei com uma observação intrigante no jornal

PJ van der Houwen, O desenvolvimento de métodos de Runge-Kutta para equações diferenciais parciais, Appl. Num. Matemática. 20: 261, 1996

Nas linhas 8ff na página 264, van der Houwen escreve:

"Para os polinômios de Taylor, isso implica que o intervalo de estabilidade imaginário está vazio para "$p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

onde o polinômio de Taylor se refere ao polinômio de estabilidade (expansão truncada de torno de ) do método Runge-Kutta ep é a ordem (na página 263). Suponho que não entendi algo, porque o método Runge-Kutta de quinta ordem não tem um intervalo de estabilidade imaginária vazio, até onde eu saiba. Pelo que me lembro, o limite imaginário é de cerca de 3,4.x = $\exp(x)$$x=0$

Qual é o meu mal-entendido?

A afirmação de van der Houwen está correta, mas não é uma afirmação sobre todos os métodos de Runge-Kutta de quinta ordem. Os "polinômios de Taylor" aos quais ele está se referindo são (como você parece saber) apenas os polinômios de grau que aproximam da ordem :exp ( z ) $p$$\exp(z)$$p$

Para o polinômio de quinta ordem, verifica-se que para pequeno ; portanto, a região de estabilidade de um método que possui como polinômio de estabilidade não inclui vizinhança de origem. no eixo imaginário . Isso é, em termos precisos, o que diz van der Houwen.ϵ P 5 ( z )$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

A fonte mais provável de sua confusão é o que se entende por "o método Runge-Kutta de quinta ordem". Existem (infinitamente) muitos métodos de Runge-Kutta de quinta ordem, mas os mais conhecidos não têm como polinômio de estabilidade. Por quê? Como John Butcher comprovou , o método Runge-Kutta de quinta ordem deve ter pelo menos seis estágios . Normalmente, o polinômio de estabilidade de um método com seis (ou mais) estágios teria grau seis (ou mais). Por exemplo, cada um dos métodos de quinta ordem listados nesta página da Wikipedia usa exatamente seis estágios e tem um polinômio de estabilidade de grau seis.$P_5(z)$

É possível que um método de quinta ordem possua como seu polinômio de estabilidade? Sim; um método de extrapolação explícita de quinta ordem (como os bem conhecidos revisados neste artigo ) o faria. Observe também que um método Runge-Kutta de estágio com polinômio de estabilidade será preciso para solicitar 5 para EDOs lineares, embora não para EDOs não lineares.$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

Finalmente, é fácil cometer erros ao determinar a extensão do intervalo de estabilidade imaginário para os métodos Runge-Kutta de alta ordem. Isso ocorre porque o limite da região de estabilidade para esses métodos se encontra extremamente próximo ao eixo imaginário . Portanto, erros de arredondamento podem levar a conclusões incorretas; apenas cálculos exatos devem ser usados ​​(é claro que a relevância do limite da região de estabilidade para propósitos práticos nessas circunstâncias certamente poderia ser debatida).

Por exemplo, aqui está um gráfico da região de estabilidade do método de quinta ordem do par Fehlberg 5 (4):

O intervalo de estabilidade imaginário está vazio, mas você não pode ver pela imagem nesta resolução! Observe que a região inclui claramente parte do eixo imaginário, mas nenhum intervalo sobre a origem.

Enquanto isso, aqui está o gráfico para o método de quinta ordem do par Dormand-Prince 5 (4):

Possui intervalo de estabilidade imaginário de aproximadamente .$[-1,1]$

Para uma caracterização precisa do limite da região de estabilidade próximo ao eixo imaginário para (que é bastante fascinante!), Veja meu artigo recente .$P_p(z)$

Você também pode estar interessado no pacote NodePy , que produziu os gráficos acima e que pode ser usado para determinar com precisão coisas como o intervalo de estabilidade imaginário de um método (aviso: criei o NodePy).