Como as condições de contorno devem ser aplicadas ao usar o método de volume finito?

Seguindo a minha pergunta anterior , estou tentando aplicar condições de contorno a essa malha de volume finito não uniforme,

Gostaria de aplicar uma condição de limite do tipo Robin aos lhs do domínio ( $x=x_L)$ , de modo que,

$$\sigma_L = \left( d u_x + a u \right) \bigg|_{x=x_L}$$

onde $\sigma_L$ é o valor limite; são coeficientes definidos na fronteira, advecção e difusão, respectivamente; , é a derivada de avaliada no limite e é a variável para a qual estamos resolvendo.$a, d$ u$u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$$u$$u$

Possíveis abordagens

Posso pensar em duas maneiras de implementar essa condição de limite na malha de volume finito acima:

1. Uma abordagem de célula fantasma.

   Escreva $u_x$ como uma diferença finita, incluindo uma célula fantasma.

   $$\sigma_L = d \frac{u_1 - u_0}{h_{-}} + a u(x_L)$$

   A. Em seguida, usar linear interpolação com pontos $x_0$ e $x_1$ a encontrar o valor intermédio, $u(x_L)$ .

   B. Alternativamente, encontre calculando a média das células, u ( x L ) = $u(x_L)$$u(x_L) = \frac{1}{2}(u_0 + u_1)$

   Em ambos os casos, a dependência da célula fantasma pode ser eliminada da maneira usual (através da substituição na equação do volume finito).

2. Uma abordagem de extrapolação.

   Ajuste uma função linear (ou quadrática) a usando os valores nos pontos x 1 , x 2 ( x 3 ). Isso fornecerá o valor em u ( x L ) . A função linear (ou quadrática) pode ser diferenciada para encontrar uma expressão para o valor da derivada, u x ( x L ) , no limite. Essa abordagem não usa uma célula fantasma.$u(x)$$x_1, x_2$$x_3$$u(x_L)$$u_x(x_L)$

Questões

• Qual abordagem dos três (1A, 1B ou 2) é "padrão" ou você recomendaria?
• Qual abordagem introduz o menor erro ou é a mais estável?
• Acho que posso implementar a abordagem de célula fantasma, no entanto, como a abordagem de extrapolação pode ser implementada? Essa abordagem tem um nome?
• Existe alguma diferença de estabilidade entre ajustar uma função linear ou uma equação quadrática?

Equação específica

Desejo aplicar esse limite à equação de advecção-difusão (em forma de conservação) com termo de fonte não linear,

$$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$$

Discretizar esta equação na malha acima usando o método- fornece,$\theta$

$$w_{j}^{n+1} - \theta r_a w_{j-1}^{n+1} - \theta r_b w_{j}^{n+1} - \theta r_c w_{j+1}^{n+1} = w_j^n + (1-\theta) r_a w_{j-1}^n + (1-\theta) r_b w_j^n + (1-\theta) r_c w_{j+1}^n + s(x_j,t_n)$$

No entanto, para o ponto de limite ( ), prefiro usar um esquema totalmente implícito ( θ = 1 ) para reduzir a complexidade,$j=1$$\theta=1$

$$w_{1}^{n+1} - r_a w_{0}^{n+1} - r_b w_{1}^{n+1} - r_c w_{2}^{n+1} = w_1^n + s_1^n$$

Observe que o ponto fantasma , ele será removido aplicando a condição de contorno.$w_0^{n+1}$

Os coeficientes têm as definições,

$$r_a = \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{ah_j}{2h_{-}} + \frac{d}{h_{-}} \right)$$

$$r_b = - \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{a}{2}\left[ \frac{h_{j-1}}{h_{-}} - \frac{h_{j+1}}{h_{+}} \right] + d\left[-\frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}} \right]\right)$$

$$r_c = \frac{\Delta t}{h_j}\left(- \frac{ah_j}{2h_{+}} + \frac{d}{h_{+}} \right)$$

Todas as variáveis ​​" " são definidas como no diagrama acima. Finalmente, Δ t que é o intervalo de tempo ( NB este é um simplificada caso com constantes de um e d coeficientes, na prática os " r coeficientes" são um pouco mais complicado por esta razão).$h$$\Delta t$$a$$d$$r$

É mais uma observação geral sobre a FVM do que uma resposta para perguntas concretas. E a mensagem é que não deve haver a necessidade de uma discretização adhoc das condições de contorno.

Diferentemente dos métodos FE ou FD, onde o ponto de partida é um ansatz discreto para a solução, a abordagem FVM deixa a solução intocada (no início), mas calcula a média de uma segmentação do domínio. A discretização da solução entra em jogo somente quando o sistema de equações de equilíbrio obtido é transformado em um sistema de equações algébricas aproximando os fluxos através das interfaces.

Nesse sentido, tendo em vista as condições de contorno, aconselho a manter a forma contínua da solução o maior tempo possível e a introduzir aproximações discretas apenas no final.

Digamos que a equação aplica a todo o domínio. Em seguida, ele se mantém no subdomínio [ 0 , h 1 ) e uma integração no espaço fornece ∫ h 1 0 u t d

$$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$$ $[0,h_1)$ $$\begin{align} \int_0^{h_1}u_t \text{d}x &=& \int_0^{h_1} \partial_x(-au + du_{x})\text{d}x &+& \int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x \\ &=& (-au + du_{x})|_{x=h_1}-(-au + du_{x})|_{x=0}&+&\int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x, \end{align}$$ $u$

$C_i$$u$$u(t,x)|_{C_i} = u_i(t)$$u(x_i)\approx u_i$$u_x|_{h_i}$$u_{i}$$u_{i+1}$$u$

$(-au + du_{x})|_{x=0}$, não importa o que tenha sido feito para $u$ tão longe.

• Dado $u|_{x=0}=g_D$ pode-se introduzir uma célula fantasma e a condição de que um interpolante entre $u_0$ e $u_1$ é igual a $g_D$ na fronteira.

• Dado ${u_x|}_{x=0} = g_N$ pode-se introduzir uma célula fantasma e a condição de que uma aproximação à derivada entre $u_0$ e $u_1$ partidas $g_N$ na fronteira

• Se o próprio fluxo for prescrito: $(-a u + du_x )|_{x=0}= g_R$, não há necessidade de discretização.

No entanto, não tenho certeza, o que fazer no caso de existirem Robin tipo bc que não correspondam diretamente ao fluxo. Isso precisará de alguma regularização devido à descontinuidade dos parâmetros de advecção e difusão.

---

===> Algumas reflexões pessoais sobre a FVM <===

• FVM não é uma FDM em escala, como exemplos das equações de 1D Poisson em uma grade regular geralmente sugerem
• Não deve haver uma grade na FVM, deve haver células com interfaces e, se necessário, centros
• É por isso que acho que uma formulação estêncil da discretização não é adequada
• A montagem do sistema de equações deve ser feita de acordo com a abordagem de discretização, ou seja, iterando sobre as células, em vez de definir uma equação para cada desconhecido. Eu quero pensar no$i$-a linha da matriz do coeficiente como parte do problema colocado na célula $\Omega_i$, em vez da equação associada a $u_i$.
• Isso é particularmente importante para problemas de 2D ou 3D, mas também pode ajudar a ter uma notação clara em 1D: faça a diferença entre o volume (em 1D: comprimento) da célula, aqui $h_i$, e a distância entre os centros, talvez em 1D: $d_i:=d_{i,i+1}=|x_i-x_{i+1}|$.

---