Aplicando o método Runge-Kutta aos ODEs de segunda ordem

Como posso substituir o método de Euler pela 4ª ordem de Runge-Kutta para determinar o movimento de queda livre em magnitude gravimétrica não constante (por exemplo, queda livre de 10.000 km acima do solo)?

Até agora escrevi uma integração simples pelo método Euler:

while()
{
    v += getMagnitude(x) * dt;
    x += v * dt;
    time += dt;
}

variável x significa posição atual, v significa velocidade, getMagnitude (x) retorna a aceleração na posição x.

Eu tentei implementar o RK4:

while()
{
    v += rk4(x, dt) * dt; // rk4() instead of getMagintude()
    x += v * dt;
    time += dt;
}

onde o corpo da função rk4 () é:

inline double rk4(double tx, double tdt)
{
   double k1 = getMagnitude(tx);
   double k2 = getMagnitude(tx + 0.5 * tdt * k1);
   double k3 = getMagnitude(tx + 0.5 * tdt * k2);
   double k4 = getMagnitude(tx + tdt * k3);

   return (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6.0;
}

Mas algo está errado, porque estou integrando apenas uma vez usando o RK4 (aceleração). A integração da velocidade usando o RK4 não faz sentido porque é o mesmo que v * dt.

Você poderia me dizer como resolver equações diferenciais de segunda ordem usando a integração Runge-Kutta? Devo implementar o RK4 calculando os coeficientes k1, l1, k2, l2 ... l4? Como eu posso fazer isso?

Parece haver muita confusão sobre como aplicar métodos de várias etapas (por exemplo, Runge-Kutta) a ODEs de segunda ou mais alta ordem ou sistemas de ODEs. O processo é muito simples quando você o entende, mas talvez não seja óbvio sem uma boa explicação. O método a seguir é o que eu acho mais simples.

$F = m\ddot{x}$

$v$$x$k1k4$(x,v)$

while (t<TMAX)
    k1 = RHS( t, X );
    k2 = RHS( t + dt / 2, X + dt / 2 * k1 );
    k3 = RHS( t + dt / 2, X + dt / 2 * k2 );
    k4 = RHS( t + dt, X + dt * k3 );
    X = X + dt / 6 * ( k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4 );
    t = t + dt;
end

X$=(x,v)$RHS( t, X )$(\dot{x}(t),\dot{v}(t))$

Infelizmente, o C ++ não oferece suporte nativo a operações vetoriais como essa; portanto, você precisa usar uma biblioteca de vetores, usar loops ou gravar manualmente as partes separadas. Em C ++, você pode usar std::valarraypara obter o mesmo efeito. Aqui está um exemplo simples de trabalho com aceleração constante.

#include <valarray>
#include <iostream>

const size_t NDIM = 2;

typedef std::valarray<double> Vector;

Vector RHS( const double t, const Vector X )
{
  // Right hand side of the ODE to solve, in this case:
  // d/dt(x) = v;
  // d/dt(v) = 1;
  Vector output(NDIM);
  output[0] = X[1];
  output[1] = 1;
  return output;
}

int main()
{

  //initialize values

  // State variable X is [position, velocity]
  double init[] = { 0., 0. };
  Vector X( init, NDIM );

  double t = 0.;
  double tMax=5.;
  double dt = 0.1;

  //time loop
  int nSteps = round( ( tMax - t ) / dt );
  for (int stepNumber = 1; stepNumber<=nSteps; ++stepNumber)
  {

    Vector k1 = RHS( t, X );
    Vector k2 = RHS( t + dt / 2.0,  X + dt / 2.0 * k1 );
    Vector k3 = RHS( t + dt / 2.0, X + dt / 2.0 * k2 );
    Vector k4 = RHS( t + dt, X + dt * k3 );

    X += dt / 6.0 * ( k1 + 2.0 * k2 + 2.0 * k3 + k4 );
    t += dt;
  }
  std::cout<<"Final time: "<<t<<std::endl;
  std::cout<<"Final position: "<<X[0]<<std::endl;
  std::cout<<"Final velocity: "<<X[1]<<std::endl;

}