Existe uma generalização da Lei de Inércia de Sylvester para o problema simétrico de autovalor generalizado?

Eu sei que, para resolver o problema simétrico de autovalor , podemos usar a Lei de Inércia de Sylvester, que é o número de autovalores de A menor que a igual ao número de entradas negativas de D de onde a matriz diagonal D vem da fatoração LDL de um - um I = G D G T . Então, pelo método de bissecção, podemos encontrar todos ou alguns autovalores, conforme desejado. Desejo saber se existe uma generalização da Lei de Inércia de Sylvester para problemas simétricos de autovalores generalizados, que estão resolvendo A x $Ax = \lambda x$$A$$a$$D$$D$$A-aI = LDL^{T}$ , onde A e B são matrizes simétricas. Obrigado.$Ax= \lambda Bx$$A$$B$

Sim, se o lápis é definitivo, ou seja, se e B são hermitianos e B é positivo positivo. Em seguida, a assinatura de um - σ B tem a mesma interpretação para o problema de valores próprios ( A - λ B ) x = 0 , como no caso B = I . Um resultado mais geral desse tipo vale para qualquer problema de valor próprio não linear definido A ( λ ) x = 0 . Veja a Seção 5.3 do meu livro$A$$B$$B$$A-\sigma B$$(A-\lambda B)x=0$$B=I$$A(\lambda)x=0$

Arnold Neumaier, Introdução à análise numérica, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001.

Para , a prova da minha afirmação pode ser deduzida do argumento dado por Jack Poulson ao observar que C - σ I e A - σ B são congruentes, portanto, têm a mesma inércia.$(A-\lambda B)x=0$$C-\sigma I$$A-\sigma B$

Em particular, pode-se calcular directamente a inércia de , e não necessita de um fatoração de Cholesky de B para formar C . De fato, se B está mal condicionado, a formação numérica de C degrada a qualidade do teste de inércia.$A-\sigma B$$B$$C$$B$$C$

$B$$B$$B = L L^H$

e essa equação pode ser manipulada para mostrar que

$C \equiv L^{-1} A L^{-H}$$A$$(A,B)$$C$$C$$(A,B)$

$S \cdot S^H$$C$$A$$L^{-1} \cdot L^{-H}$$C$$A$$C-\sigma I$$\sigma$$A$