Que método iterativo pode efetivamente resolver um sistema linear com esse tipo de espectro

Eu tenho um sistema linear com matriz cujos valores próprios são distribuídos uniformemente no círculo unitário como este:

insira a descrição da imagem aqui

É possível resolver esse tipo de sistema de maneira eficaz pelo método iterativo, talvez com algum pré-condicionador?

linear-algebra iterative-method preconditioning faleichik
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Eu acho que o MINRES fará isso, embora eu saiba apenas resultados semelhantes para um espectro real. Você sabe mais sobre a matriz (em particular, é normal)?

Christian Clason

Além disso, dê uma olhada page.math.tu-berlin.de/~liesen/Publicat/LiTiGAMM.pdf

Christian Clason

A^{*} A x = A^{*} b

$A^*Ax = A^*b$

@ChristianClason em geral, caso a matriz não seja normal. Tem uma certa estrutura de blocos e é escassa. Obrigado pela referência!

faleichik

Se a matriz é altamente fora do normal, minha sugestão de CGNE está errada, mas esse trabalho deve ser um bom começo. A biblioteca PETSc possui praticamente todos os solucionadores de subespaços de Krylov sob o sol, para que você possa experimentar todos eles e ver qual deles funciona melhor. Há também uma interface Python para isso, o que torna as coisas muito mais convenientes.

Daniel Shapero

Respostas:

A matriz é muito bem condicionada, portanto, o GMRES (k) deve funcionar bem sem pré-condicionador.

Arnold Neumaier
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Embora a matriz esteja bem condicionada, isso não implica necessariamente que o GMRES converja bem. Exemplo de oitava (Matlab): `n = 100; A = olho (n); p = [n, 1: n-1]; A = A (:, p); número da condição = cond (A), b = olho ( n, 1) + rand (n, 1) * 1e-6; [x, flag, relres, iter, resvec] = gmres (A, b); feche tudo; semilogia (resvec); figura; plot (eig (A ), "."); `

wim

A

$A$