Esquema de diferenças finitas para fluxo não isotérmico compressível em meios porosos

Meu desafio é resolver o seguinte sistema de equações, que descreve a combustão de gases em meios porosos:

1) Continuidade

$\varepsilon \frac{\partial \rho_g}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial x} \left(\rho_g u_x\right)=0$

2) Lei de Darcy (momento)

$u_x=-\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$

3) Equação de estado, observe a temperatura variável

$\rho_g=\frac{M_Rp}{RT_g(x)}$

4) Equação de energia para o gás.

5) Equação de energia para a fase sólida

Descrevi e resolvi com sucesso o caso em que velocidade, pressão e densidade são assumidas constantes, ou seja, as três primeiras equações desaparecem. Mas resolver a parte gasodinâmica provou ser um problema.

A aplicação de um esquema a favor do vento a 1) (como sugerido aqui: uma boa diferença finita para a equação de continuidade ) gera um critério de estabilidade realmente rígido no timestep, sou forçado a tê-lo tão baixo quanto 1e-6 com um espaço 1e-2 passo a passo, mesmo quando considero o caso isotérmico, desconsiderando a combustão por enquanto. E preciso de pelo menos 1e-3 para resolver as equações de energia.

As três primeiras equações também podem ser acopladas para formar

6)$\frac{\partial p}{\partial t} +C\frac{\partial^2}{\partial x^2} \left(p^2 \right)=0$

mas apenas no caso isotérmico , de modo que é de pouca ajuda.

Eu sei que as pessoas resolveram 1) -5) e 6) antes, mas não consegui encontrar uma descrição dos esquemas que elas usavam. Tentei pesquisar artigos sobre fluxo compressível em meios porosos especificamente, mas todos eles lidam com modelos muito mais complexos (multifásicos, sólidos deformáveis ​​etc.) e usam métodos de solução muito complicados.

Alguém poderia sugerir um bom esquema de DF para (1) - (3) ou dizer como os critérios de estabilidade são formados se alguém usa a favor do vento como eu?

Para problemas hiperbólicos resolvidos explicitamente, você deve satisfazer uma condição de CFL (Courant, Friedrichs, Lewy). Isso garante que o esquema use dados apenas do domínio de dependência para a equação diferencial. Para obter mais informações sobre a condição CFL e por que é necessário, você pode ler, por exemplo, pp.215-218 em Métodos de diferença finita para equações diferenciais ordinárias e parciais de LeVeque. Também nesse capítulo, existem alguns métodos alternativos apresentados, mas os critérios de estabilidade ainda estão lá. A condição CFL para o método a favor do vento em 1D é .$\frac{u\Delta t}{\Delta x} < 1$

Nos métodos de Galerkin descontínuo (DG), o uso de métodos Runge-Kutta de preservação de estabilidade forte (SSP) está se tornando popular. Embora esses sejam métodos explícitos, eles geralmente permitem a utilização de vários múltiplos do número Courant usual, diferentemente de um método simples de Euler avançado. Isso significa que você pode executar etapas mais longas, mas a um custo maior por etapa. Pode ser possível adaptar os métodos SSPRK ao seu problema, mas só vi isso nos métodos DG e meu entendimento de sua aplicabilidade é limitado.

Pode ser possível usar um método implícito no tempo, pois eles são incondicionalmente estáveis. Para manter a precisão em um nível aceitável, você pode voltar com a restrição original no intervalo de tempo. O livro de LeVeque parece sugerir que o uso de Euler para trás ou um método de Adams para a discretização do tempo e diferenciação central para a derivada espacial pode funcionar.

Eu voto a favor dos métodos de volume finito ou, se você quiser um desafio, dos métodos de DG.