grade uniforme vs. não uniforme

Provavelmente é uma questão de nível de estudante, mas não posso fazer isso exatamente para mim. Por que é mais preciso usar grades não uniformes nos métodos numéricos? Estou pensando no contexto de algum método de diferenças finitas para o PDE da forma . E suponha que eu esteja interessado em uma solução no ponto x ∗ . Portanto, posso ver que, se eu aproximar a segunda derivada, por exemplo, em uma grade uniforme usando aproximação de três pontos, o erro será de segunda ordem O ( h 2$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$x^{\ast}$$O(h^2)$. Então, eu posso construir uma grade não uniforme através de um mapeamento e encontrar coeficientes para os três pontos que são usados ​​para aproximar a derivada. Eu posso fazer as expansões de Taylor e obter novamente um limite para a derivada ser de segunda ordem , em que h é a distância em uma grade uniforme da qual obtive mapeamento para uma grade não uniforme. Ambas as estimativas contêm derivadas e não está claro para mim por que a solução seria mais precisa em uma grade não uniforme, pois depende da magnitude dos derivados correspondentes nas estimativas de erro? $O(h^2)$$h$

A justificativa para malhas não uniformes é a seguinte (todas as equações entendidas como qualitativas, isto é, geralmente verdadeiras, mas sem a pretensão de serem prováveis ​​em todas as circunstâncias e para todas as equações ou todas as discretizações possíveis):

Ao resolver uma equação com, digamos, linear elementos finitos, então você normalmente tem uma estimativa de erro do tipo ou , de forma equivalente, mas de uma forma mais adequada para o seguinte: ‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C h 4 max ‖

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ No entanto, isso é uma superestimação. Na verdade, pode-se em muitos casos, mostram que o erro é, na verdade, de forma ‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C Σ K ∈ T h 4 K ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( K ) . Aqui, K são as células da triangulação $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$. Isso mostra que, para reduzir o erro, não é realmente necessário reduzir o tamanho máximo da malha . Em vez disso, a estratégia mais eficiente será para equilibrar a contribuições de erro cellwise h 4 K ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( K ) - em outras palavras, você deve escolher h K α ‖ ∇ 2 u ‖ - 1 / 2 L 2 ( K ) . Em outras palavras, o tamanho da malha local $h_\text{max}$$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ deve ser pequeno onde a solução é áspera (tem grandes derivadas) e grande onde a solução é suave, e a fórmula acima fornece uma medida quantitativa para esse relacionamento.$h_K$

Prove para você mesmo com este exemplo. Qual é o erro máximo ao interpolar o sqrt (x) no intervalo [0,1] com interpolação linear por partes em uma malha uniforme?

Qual é o erro máximo ao interpolar em uma malha na qual o i-ésimo de n pontos é dado por (i / n) ^ s, e s é um parâmetro de classificação de malha cuidadosamente escolhido?

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

$u(x,0)$

Kamil, a resolução de equações diferenciais é global, a interpolação é local. Na interpolação polinomial por partes, a precisão longe da singularidade não será incomodada pela singularidade. Infelizmente, isso não é de todo válido para resolver uma equação elíptica, como um problema de valor de limite de dois pontos. A singularidade poluirá a aproximação globalmente.

Aqui está algo para tentar. Resolva D (sqrt (x) Du) em [0,1] com Dirichlet homogêneo bcs D é o operador de diferenciação. Use elementos finitos ou diferenças finitas em uma malha uniforme de n pontos. Compare com uma malha na qual o i-ésimo ponto é (1 / n) ^ 1,5. Observe que o pior erro para a malha uniforme está longe de ser singular e muito maior que para a malha graduada.