Por que a integração do leapfrog é simplética e o RK4 não, se o último é mais preciso?

Em um sistema em que a energia teoricamente deveria ser conservada, a simulação mais precisa economizaria energia (além de fornecer posições, velocidades e etc) precisos. O RK4 é mais preciso do que o salto, mas o salto economiza energia e o RK4 não. Por que é isso?

TL; DR: Depende do tipo de precisão que você precisa.

A conservação de energia não é automaticamente igual à precisão. Suponha que você queira simular o sistema solar e esteja usando um solucionador que - para usar um exemplo extremo - apenas gire o sistema inteiro em algum ângulo a cada segundo. Essas soluções obviamente conservam energia, mas são descaradamente incorretas.

Por outro lado, se você deseja prever movimentos celestes por um período de tempo suficientemente curto, os efeitos de um método Runge-Kutta que não preserva energia são desprezíveis. Pelo contrário, isso afeta suas simulações a longo prazo. Em escalas de tempo curtas, o método Runge – Kutta fornecerá resultados mais precisos do que o avanço - pelo menos para um esforço computacional comparável.

Agora, em longas escalas de tempo, nenhum dos métodos produz resultados muito precisos no sentido de prever o futuro preciso de alguma condição inicial (o que também pode ser difícil devido ao efeito borboleta). No entanto, o método de salto rápido produz pelo menos alguma solução plausível, pois a energia é preservada. Isso é suficiente para muitas simulações em que o comportamento qualitativo dos sistemas investigados é de interesse.