Por que a dimensão do tempo é especial?

De um modo geral, ouvi analistas numéricos opinarem que

"Claro, matematicamente falando, o tempo é apenas outra dimensão, mas ainda assim, o tempo é especial"

Como justificar isso? Em que sentido o tempo é especial para a ciência computacional?

Além disso, por que tantas vezes preferimos usar diferenças finitas (levando ao "passo no tempo"), para a dimensão temporal, enquanto aplicamos diferenças finitas, elementos finitos, métodos espectrais ... para as dimensões espaciais? Uma razão possível é que tendemos a ter um IVP na dimensão temporal e um BVP nas dimensões espaciais. Mas não acho que isso justifique completamente.

A causalidade indica que as informações só avançam no tempo e os algoritmos devem ser projetados para explorar esse fato. Esquemas de escalonamento no tempo fazem isso, enquanto métodos espectrais globais no tempo ou outras idéias não. A questão é, obviamente, por que todo mundo insiste em explorar esse fato - mas isso é fácil de entender: se o seu problema espacial já possui um milhão de incógnitas e você precisa executar 1000 etapas de tempo, em uma máquina típica hoje você tem recursos suficientes para resolver o problema espacial por si só, um passo após o outro, mas você não tem recursos suficientes para lidar com um problema combinado de $10^9$ incógnitas.

A situação também não é muito diferente da que você tem com discretizações espaciais dos fenômenos de transporte. Claro, você pode discretizar uma equação de advecção 1d pura usando uma abordagem globalmente acoplada. Mas se você se preocupa com a eficiência, a melhor abordagem é usar uma varredura a jusante que transporta informações da entrada para a parte de saída do domínio. Isso é exatamente o que os esquemas de escalonamento de tempo fazem com o tempo.

Semelhante à causalidade mencionada por Wolfgang em seu post, pudemos ver o motivo pelo qual a dimensão do tempo é especial do ponto de vista do espaço-tempo de Minkowski:$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

O espaço-tempo possui um produto interno definido como se e são dois 1- no espaço-tempo de Minkowski: , é definido de maneira semelhante, a intuição por trás da definição de um produto interno (ou melhor, métrica) é impor a idéia de velocidade absoluta da luz, de modo que dois pontos diferentes (eventos) no espaço-tempo tenham distância zero (acontece no "mesmo tempo", como se estivéssemos observando o movimento de galáxias a bilhões de anos-luz de distância, como se estivessem se movendo agora) se estiverem no mesmo cone de luz.( A , B ) = A x B x + A y B y + A z B z - $(3+1)$ABA=Axdx+Aydy+Azdz+Atdt

Como você pode ver, esse produto interno não é positivo definitivo devido à presença do tempo dimensional dimensionado pela velocidade da luz , portanto, falando intuitivamente, ao tratar um problema referente a uma quantidade propagada no espaço-tempo, não podemos simplesmente aplicar teoremas em 3 métrica euclidiana tridimensional para um espaço-tempo tridimensional, pense nas teorias elípticas tridimensionais de PDE e seus métodos numéricos correspondentes diferem drasticamente das teorias hiperbólicas de PDE. ( 3 + 1 $c$$(3+1)$

Talvez fora de tópico, mas outra grande diferença de espaço versus espaço-tempo (elíptica x hiperbólica) é que a maioria das equações elípticas modela o equilíbrio e a elipticidade nos dá regularidade "agradável", enquanto existem todos os tipos de descontinuidades em problemas hiperbólicos (choque, rarefação, etc).

EDIT: Não sei se existe um artigo dedicado sobre a diferença além de fornecer a definição, com base no que aprendi antes, a equação elíptica típica, como a equação ou elasticidade de Poisson, modela um fenômeno estático, tem uma solução "suave" se os dados e Se o limite do domínio de interesse é "suave", isso se deve à elipticidade (ou melhor, à propriedade positiva definida) do operador diferencial governante; esse tipo de equação nos leva a uma abordagem do tipo Galerkin muito intuitiva (multiplique uma função e integração de teste por peças), o elemento finito contínuo típico funciona bem. Coisas semelhantes se aplicam à equação parabólica, como a equação do calor, que é essencialmente uma equação elíptica marchando no tempo, tem uma propriedade de "suavização" semelhante; um canto agudo inicial será suavizado ao longo do tempo,

Para um problema hiperbólico, normalmente derivado de uma lei de conservação, é "conservador" ou "dispersivo". Por exemplo, a equação de advecção linear, descrevendo certos fluxos de quantidade com um campo vetorial, conserva como é inicialmente essa quantidade específica; apenas se move espacialmente ao longo desse campo vetorial, as descontinuidades se propagam. A equação de Schrodinger, outra equação hiperbólica, no entanto, é dispersiva; é a propagação de uma quantidade complexa; um estado inicial não-oscilatório se tornará pacotes de ondas oscilatórias diferentes ao longo do tempo.

Como você mencionou "escalada no tempo", você pode pensar que a quantidade "flui" no tempo "campos" com uma certa velocidade como causalidade, muito semelhante à equação de advecção linear BVP, precisamos apenas impor a condição de limite de entrada, isto é, como é a quantidade ao fluir para o domínio de interesse, e a solução nos diria como é a quantidade ao fluir para fora, uma idéia muito semelhante a qualquer método que utiliza o tempo. Resolver uma equação de advecção 2D no espaço é como resolver um problema de propagação unilateral em 1D no espaço-tempo. Para esquemas numéricos, você pode pesquisar no Google sobre o espaço-tempo FEM.

Embora existam algumas exceções (por exemplo, métodos de elementos finitos totalmente discretos), a discretização temporal geralmente implica uma dependência inerentemente sequencial no fluxo de informações. Essa dependência restringe algoritmos semi-discretos (BVP no espaço, IVP no tempo) para calcular soluções para subproblemas de maneira seqüencial. Essa discretização é geralmente preferida por sua simplicidade e porque oferece ao analista muitos algoritmos bem desenvolvidos para maior precisão, tanto no espaço quanto no tempo.

É possível (e mais simples) usar diferenças finitas também nas dimensões espaciais, mas os métodos de elementos finitos oferecem flexibilidade mais fácil no tipo de domínio de interesse (por exemplo, formas não regulares) do que os métodos de diferenças finitas. Uma escolha "boa" de discretização espacial geralmente depende de muitos problemas.