Quais são os critérios para escolher entre diferenças finitas e elementos finitos

Estou acostumado a pensar nas diferenças finitas como um caso especial de elementos finitos, em uma grade muito restrita. Então, quais são as condições de como escolher entre o Método das Diferenças Finitas (FDM) e o Método dos Elementos Finitos (MEF) como método numérico?

Do lado do Método das Diferenças Finitas (FDM), pode-se contar que eles são conceitualmente mais simples e fáceis de implementar do que o Método dos Elementos Finitos (MEF). O MEF tem o benefício de ser muito flexível, por exemplo, as grades podem ser muito não uniformes e os domínios podem ter uma forma arbitrária.

O único exemplo que eu sei onde o FDM se mostrou superior ao FEM é em Celia, Bouloutas, Zarba , onde o benefício é devido ao método FD usando uma discretização diferente da derivada de tempo, que, no entanto, poderia ser corrigida para o método dos elementos finitos .

É possível escrever métodos de diferenças finitas mais específicos como métodos de elementos finitos de Petrov-Galerkin com alguma opção de reconstrução e quadratura local, e a maioria dos métodos de elementos finitos também pode ser mostrada como sendo algebricamente equivalente a algum método de diferenças finitas. Portanto, devemos escolher um método com base em qual estrutura de análise queremos usar, qual terminologia gostamos, qual sistema de extensibilidade gostamos e como gostaríamos de estruturar o software. As generalizações a seguir se aplicam à grande maioria das variações no uso prático, mas muitos pontos podem ser contornados.

Diferença finita

Prós

• implementação eficiente sem quadratura
• independência de relação de aspecto e conservação local para certos esquemas (por exemplo, MAC para fluxo incompressível)
• métodos não lineares robustos para transporte (por exemplo, ENO / WENO)
• Matriz M para alguns problemas
• princípio máximo discreto para alguns problemas (por exemplo, diferenças finitas miméticas)
• matriz de massa diagonal (geralmente identidade)
• residual nodal barato permite multigrid não-linear eficiente (FAS)
• smoothers Vanka em células proporcionam smoothers eficientes e sem matriz para fluxo incompressível

Contras

• mais difícil de implementar "física"
• grades escalonadas às vezes são bastante técnicas
• superior à segunda ordem em redes não estruturadas é difícil
• ortogonalidade de Galerkin, portanto, a convergência pode ser mais difícil de provar
• não é um método de Galerkin; portanto, discretização e adjuntos não são comutados (relevantes para otimização e problemas inversos)
• problemas contínuos auto-adjuntos geralmente produzem matrizes não simétricas
• A solução é definida apenas em sentido horário; portanto, a reconstrução em locais arbitrários não é definida exclusivamente
• condições de contorno tendem a ser complicadas de implementar
• coeficientes descontínuos geralmente tornam os métodos de primeira ordem
• estêncil cresce se a física incluir "termos cruzados"

Elemento finito

Prós

• Ortogonalidade de Galerkin (a solução discreta para problemas coercitivos está dentro de uma constante da melhor solução no espaço)
• flexibilidade geométrica simples
• Galerkin descontínuo oferece algoritmo de transporte robusto, ordem arbitrária em grades não estruturadas
• a desigualdade de entropia cellwise que garante estabilidade é independente da malha, dimensão, ordem de precisão e presença de soluções descontínuas, sem a necessidade de limitadores não lineares$L^2$
• fácil de implementar condições de contorno
• pode escolher a declaração de conservação escolhendo o espaço de teste
• discretização e comutação de comutação (para métodos de Galerkin)
• base elegante em análise funcional
• em ordem alta, os kernels locais podem explorar a estrutura do produto tensorial que está faltando no FD
• A quadratura de Lobatto pode tornar os métodos de conservação de energia (assumindo um integrador de tempo simplético)
• alta precisão de pedidos, mesmo com coeficientes descontínuos, desde que você possa se alinhar aos limites
• coeficientes descontínuos dentro dos elementos podem ser acomodados com o XFEM
• fácil de lidar com várias condições inf-sup

Contras

• muitos elementos têm problemas na alta proporção
• O MEF contínuo tem problemas com o transporte (o SUPG é difuso e oscilatório)
• A DG geralmente possui mais graus de liberdade para a mesma precisão (embora o HDG seja muito melhor)
• O MEF contínuo não fornece problemas nodais baratos; portanto, as estrias não lineares têm constantes muito mais pobres
• geralmente mais nonzeros em matrizes montadas
• é preciso escolher entre matriz de massa consistente (algumas propriedades agradáveis, mas tem inversa total, exigindo uma resolução implícita por etapa de tempo) e matriz de massa agrupada.

Essa pergunta pode ser muito ampla para ter uma resposta significativa. A maioria das pessoas que responde apenas conhece alguns subconjuntos de todos os tipos de discretizações de DF e FE que podem ser usadas. Observe que tanto o FD quanto o FE

• pode ser implementado em grades estruturadas ou não estruturadas (consulte este documento para apenas um exemplo de método FD em uma grade não estruturada)
• pode ser estendido para uma ordem de precisão arbitrariamente alta (de várias maneiras!)
• pode ser usado para discretizar no espaço e / ou no tempo , talvez em combinação
• use funções básicas locais ou globais (as últimas levam a métodos espectrais do tipo FD e FE)
• pode basear-se em um espaço funcional contínuo ou descontínuo
• pode ser espacialmente explícito ou implícito
• pode ser temporalmente explícito ou implícito

Você entendeu a ideia. Obviamente, em uma disciplina específica, os métodos FD e FE que as pessoas comumente implementam e usam podem ter características muito diferentes. Mas isso geralmente não se deve a limitações inerentes às duas abordagens de discretização.

Em relação aos esquemas FD de ordem arbitrariamente alta: os coeficientes dos esquemas FD de alta ordem podem ser gerados automaticamente para qualquer ordem; veja o livro de LeVeque , por exemplo. Os métodos de colocação espectral, que são métodos FD, convergirão mais rapidamente do que qualquer potência do espaçamento da malha; veja o livro de Trefethen , por exemplo.

Vantagens dos elementos finitos (FE):

• método variacional (por exemplo, as energias sempre caem com o aumento de "p" na equação de Schroedinger, o que não é verdadeiro para DF)
• preciso em pedidos altos (p = mais 50)
• uma vez implementado, é fácil fazer convergência sistemática tanto em "p" quanto em "h" (em vez de ter esquemas especiais de DF para cada pedido)

Vantagens das diferenças finitas (DF):

• mais fácil de implementar para pedidos inferiores
• possivelmente mais rápido que o FE para menor precisão

Às vezes, as pessoas dizem que "diferenças finitas" significam um integrador para ODE como Runge-Kutta ou o método Adams. Nesse caso, há outra vantagem do FD:

• possível resolver ODEs não lineares diretamente

enquanto o FE precisa de alguma iteração não linear como o método de Newton.

Várias respostas legais já declararam que os métodos Pros de elementos finitos são flexíveis e poderosos, e aqui vou dar outra vantagem do MEF, do ponto de vista do espaço e geometria diferencial de Sobolev, é que a possibilidade do espaço de elementos finitos herdar a condição de continuidade física do Espaços de Sobolev onde está a verdadeira solução.

Por exemplo, Raviart-Thomas enfrenta o elemento para elasticidade plana e método misto para difusão; Elemento de borda Nédélec para eletromagnetismo computacional.

$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

o intervalo do operador é o espaço nulo do próximo operador e há muitas propriedades interessantes sobre isso. Se pudéssemos construir um espaço de elementos finitos para herdar essa sequência exata de Rham, o método Galerkin baseado nesse espaço de elementos finitos será seja estável e convergirá para a solução real. E poderíamos obter a propriedade de estabilidade e aproximação do operador de interpolação simplesmente pelo diagrama de comutação da sequência de Rham, além de podermos construir o procedimento de estimativa de erro a posteriori e refino de malha adaptável com base nessa sequência.

Para mais informações, consulte o artigo de Douglas Arnold na Acta Numerica: " Cálculo externo de elementos finitos, técnicas homológicas e aplicações " e um slide que apresenta brevemente a idéia

É importante distinguir entre esquemas espaciais e temporais.

Elementos finitos costumam usar diferenças finitas para integrar termos temporais (por exemplo, Euler explícito, implícito, Crank-Nicholson ou Runga Kutta para difusão transitória) e elementos finitos para discretização espacial.

Elementos finitos se prestam bem a malhas irregulares. Eles podem ser baseados em princípios variacionais, mas geralmente são generalizados usando o método de resíduos ponderados. É fácil desenvolver bibliotecas de elementos que usem diferentes ordens polinomiais e imponham restrições como incompressibilidade usando multiplicadores Lagrange.

Ambas as formulações são o meio para um fim: expressar uma equação diferencial em termos de sistemas de equações e álgebra linear.

Declarações sobre a velocidade de um método em detrimento de outro precisam ser qualificadas, descrevendo o algoritmo. Por exemplo, converter problemas mecânicos como problemas de dinâmica hiperbólica pode dar resultados mais rápidos em alguns casos, porque substituem a decomposição da matriz pela multiplicação e adição.

Admito que sei muito mais sobre métodos de elementos finitos do que diferenças finitas. O FEM está disponível em embalagens comerciais e é amplamente utilizado na indústria e na academia para resolver problemas em mecânica de sólidos e transferência de calor. Acredito que diferenças finitas ou abordagens de volume finito são usadas na dinâmica computacional dos fluidos.