Quais são os critérios para escolher entre diferenças finitas e elementos finitos

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Estou acostumado a pensar nas diferenças finitas como um caso especial de elementos finitos, em uma grade muito restrita. Então, quais são as condições de como escolher entre o Método das Diferenças Finitas (FDM) e o Método dos Elementos Finitos (MEF) como método numérico?

Do lado do Método das Diferenças Finitas (FDM), pode-se contar que eles são conceitualmente mais simples e fáceis de implementar do que o Método dos Elementos Finitos (MEF). O MEF tem o benefício de ser muito flexível, por exemplo, as grades podem ser muito não uniformes e os domínios podem ter uma forma arbitrária.

O único exemplo que eu sei onde o FDM se mostrou superior ao FEM é em Celia, Bouloutas, Zarba , onde o benefício é devido ao método FD usando uma discretização diferente da derivada de tempo, que, no entanto, poderia ser corrigida para o método dos elementos finitos .

shuhalo
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Respostas:

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É possível escrever métodos de diferenças finitas mais específicos como métodos de elementos finitos de Petrov-Galerkin com alguma opção de reconstrução e quadratura local, e a maioria dos métodos de elementos finitos também pode ser mostrada como sendo algebricamente equivalente a algum método de diferenças finitas. Portanto, devemos escolher um método com base em qual estrutura de análise queremos usar, qual terminologia gostamos, qual sistema de extensibilidade gostamos e como gostaríamos de estruturar o software. As generalizações a seguir se aplicam à grande maioria das variações no uso prático, mas muitos pontos podem ser contornados.

Diferença finita

Prós

  • implementação eficiente sem quadratura
  • independência de relação de aspecto e conservação local para certos esquemas (por exemplo, MAC para fluxo incompressível)
  • métodos não lineares robustos para transporte (por exemplo, ENO / WENO)
  • Matriz M para alguns problemas
  • princípio máximo discreto para alguns problemas (por exemplo, diferenças finitas miméticas)
  • matriz de massa diagonal (geralmente identidade)
  • residual nodal barato permite multigrid não-linear eficiente (FAS)
  • smoothers Vanka em células proporcionam smoothers eficientes e sem matriz para fluxo incompressível

Contras

  • mais difícil de implementar "física"
  • grades escalonadas às vezes são bastante técnicas
  • superior à segunda ordem em redes não estruturadas é difícil
  • ortogonalidade de Galerkin, portanto, a convergência pode ser mais difícil de provar
  • não é um método de Galerkin; portanto, discretização e adjuntos não são comutados (relevantes para otimização e problemas inversos)
  • problemas contínuos auto-adjuntos geralmente produzem matrizes não simétricas
  • A solução é definida apenas em sentido horário; portanto, a reconstrução em locais arbitrários não é definida exclusivamente
  • condições de contorno tendem a ser complicadas de implementar
  • coeficientes descontínuos geralmente tornam os métodos de primeira ordem
  • estêncil cresce se a física incluir "termos cruzados"

Elemento finito

Prós

  • Ortogonalidade de Galerkin (a solução discreta para problemas coercitivos está dentro de uma constante da melhor solução no espaço)
  • flexibilidade geométrica simples
  • Galerkin descontínuo oferece algoritmo de transporte robusto, ordem arbitrária em grades não estruturadas
  • a desigualdade de entropia cellwise que garante estabilidade é independente da malha, dimensão, ordem de precisão e presença de soluções descontínuas, sem a necessidade de limitadores não lineareseu2
  • fácil de implementar condições de contorno
  • pode escolher a declaração de conservação escolhendo o espaço de teste
  • discretização e comutação de comutação (para métodos de Galerkin)
  • base elegante em análise funcional
  • em ordem alta, os kernels locais podem explorar a estrutura do produto tensorial que está faltando no FD
  • A quadratura de Lobatto pode tornar os métodos de conservação de energia (assumindo um integrador de tempo simplético)
  • alta precisão de pedidos, mesmo com coeficientes descontínuos, desde que você possa se alinhar aos limites
  • coeficientes descontínuos dentro dos elementos podem ser acomodados com o XFEM
  • fácil de lidar com várias condições inf-sup

Contras

  • muitos elementos têm problemas na alta proporção
  • O MEF contínuo tem problemas com o transporte (o SUPG é difuso e oscilatório)
  • A DG geralmente possui mais graus de liberdade para a mesma precisão (embora o HDG seja muito melhor)
  • O MEF contínuo não fornece problemas nodais baratos; portanto, as estrias não lineares têm constantes muito mais pobres
  • geralmente mais nonzeros em matrizes montadas
  • é preciso escolher entre matriz de massa consistente (algumas propriedades agradáveis, mas tem inversa total, exigindo uma resolução implícita por etapa de tempo) e matriz de massa agrupada.
Jed Brown
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3
Essa é uma boa generalização, embora haja contra-exemplos para quase todos os aspectos.
David Ketcheson
Bom ponto, adicionei uma introdução a esse efeito.
Jed Brown
3
Eu não conhecia o acrônimo HDG. Para qualquer pessoa que esteja se perguntando sobre isso, significa "Galerkin descontínuo híbrido".
Akid
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Essa pergunta pode ser muito ampla para ter uma resposta significativa. A maioria das pessoas que responde apenas conhece alguns subconjuntos de todos os tipos de discretizações de DF e FE que podem ser usadas. Observe que tanto o FD quanto o FE

  • pode ser implementado em grades estruturadas ou não estruturadas (consulte este documento para apenas um exemplo de método FD em uma grade não estruturada)
  • pode ser estendido para uma ordem de precisão arbitrariamente alta (de várias maneiras!)
  • pode ser usado para discretizar no espaço e / ou no tempo , talvez em combinação
  • use funções básicas locais ou globais (as últimas levam a métodos espectrais do tipo FD e FE)
  • pode basear-se em um espaço funcional contínuo ou descontínuo
  • pode ser espacialmente explícito ou implícito
  • pode ser temporalmente explícito ou implícito

Você entendeu a ideia. Obviamente, em uma disciplina específica, os métodos FD e FE que as pessoas comumente implementam e usam podem ter características muito diferentes. Mas isso geralmente não se deve a limitações inerentes às duas abordagens de discretização.

Em relação aos esquemas FD de ordem arbitrariamente alta: os coeficientes dos esquemas FD de alta ordem podem ser gerados automaticamente para qualquer ordem; veja o livro de LeVeque , por exemplo. Os métodos de colocação espectral, que são métodos FD, convergirão mais rapidamente do que qualquer potência do espaçamento da malha; veja o livro de Trefethen , por exemplo.

David Ketcheson
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Interessante. Você tem alguns documentos sobre esquemas de FD arbitrariamente de alta ordem? Eu pensei que era preciso criar manualmente um estêncil de ordem superior para cada ordem.
Ondřej Čertík
Adicionei mais detalhes acima para responder sua pergunta.
David Ketcheson
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Vantagens dos elementos finitos (FE):

  • método variacional (por exemplo, as energias sempre caem com o aumento de "p" na equação de Schroedinger, o que não é verdadeiro para DF)
  • preciso em pedidos altos (p = mais 50)
  • uma vez implementado, é fácil fazer convergência sistemática tanto em "p" quanto em "h" (em vez de ter esquemas especiais de DF para cada pedido)

Vantagens das diferenças finitas (DF):

  • mais fácil de implementar para pedidos inferiores
  • possivelmente mais rápido que o FE para menor precisão

Às vezes, as pessoas dizem que "diferenças finitas" significam um integrador para ODE como Runge-Kutta ou o método Adams. Nesse caso, há outra vantagem do FD:

  • possível resolver ODEs não lineares diretamente

enquanto o FE precisa de alguma iteração não linear como o método de Newton.

Ondřej Čertík
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Várias respostas legais já declararam que os métodos Pros de elementos finitos são flexíveis e poderosos, e aqui vou dar outra vantagem do MEF, do ponto de vista do espaço e geometria diferencial de Sobolev, é que a possibilidade do espaço de elementos finitos herdar a condição de continuidade física do Espaços de Sobolev onde está a verdadeira solução.

Por exemplo, Raviart-Thomas enfrenta o elemento para elasticidade plana e método misto para difusão; Elemento de borda Nédélec para eletromagnetismo computacional.

keu2

HΛk={ωΛk:ωeu2(Λk),dωeu2(Λk)}
d

R3EudH(grumad,Ω)H(cvocêreu,Ω)×H(dEuv,Ω)eu2(Ω)

o intervalo do operador é o espaço nulo do próximo operador e há muitas propriedades interessantes sobre isso. Se pudéssemos construir um espaço de elementos finitos para herdar essa sequência exata de Rham, o método Galerkin baseado nesse espaço de elementos finitos será seja estável e convergirá para a solução real. E poderíamos obter a propriedade de estabilidade e aproximação do operador de interpolação simplesmente pelo diagrama de comutação da sequência de Rham, além de podermos construir o procedimento de estimativa de erro a posteriori e refino de malha adaptável com base nessa sequência.

Para mais informações, consulte o artigo de Douglas Arnold na Acta Numerica: " Cálculo externo de elementos finitos, técnicas homológicas e aplicações " e um slide que apresenta brevemente a idéia

Shuhao Cao
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Mais ou menos a mesma coisa pode ser alcançada usando os chamados métodos miméticos de DF.
David Ketcheson
@ David David Ketcheson Oi, David, bom saber, acho que meu conhecimento sobre FD não é atualizado há anos e parece um pouco com a antiguidade agora.
Shuhao Cao
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É importante distinguir entre esquemas espaciais e temporais.

Elementos finitos costumam usar diferenças finitas para integrar termos temporais (por exemplo, Euler explícito, implícito, Crank-Nicholson ou Runga Kutta para difusão transitória) e elementos finitos para discretização espacial.

Elementos finitos se prestam bem a malhas irregulares. Eles podem ser baseados em princípios variacionais, mas geralmente são generalizados usando o método de resíduos ponderados. É fácil desenvolver bibliotecas de elementos que usem diferentes ordens polinomiais e imponham restrições como incompressibilidade usando multiplicadores Lagrange.

Ambas as formulações são o meio para um fim: expressar uma equação diferencial em termos de sistemas de equações e álgebra linear.

Declarações sobre a velocidade de um método em detrimento de outro precisam ser qualificadas, descrevendo o algoritmo. Por exemplo, converter problemas mecânicos como problemas de dinâmica hiperbólica pode dar resultados mais rápidos em alguns casos, porque substituem a decomposição da matriz pela multiplicação e adição.

Admito que sei muito mais sobre métodos de elementos finitos do que diferenças finitas. O FEM está disponível em embalagens comerciais e é amplamente utilizado na indústria e na academia para resolver problemas em mecânica de sólidos e transferência de calor. Acredito que diferenças finitas ou abordagens de volume finito são usadas na dinâmica computacional dos fluidos.

duffymo
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Muitas pessoas fazem CFD com o FEM. :)
Bill Barth
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Acordado. Admito que não tenho um pressentimento sobre a prevalência de cada técnica agora. Estou baseando minha opinião em uma amostra muito pequena: amigos que fazem CFD trabalham na indústria. Eles estão usando o FD na maior parte.
Duffymo