Qual norma escolher quando?

Recentemente, vi esta pergunta: como medir o erro de um método de diferenças finitas

Eu sou estudante de ciências da simulação e, infelizmente, para mim, não está totalmente claro qual norma usar em que contexto.

Frequentemente, usamos a norma euclidiana ou a norma L2, mas por que escolher normas diferentes, qual é o significado delas além da definição numérica / matemática? Ou mais preciso: qual é o motivo para usar uma norma específica em um contexto específico?

Para medir o erro na solução do PDE, é bastante natural escolher a norma do espaço em que a solução se encontra. Por exemplo, para PDEs elípticos, a solução está em e, portanto, é natural escolher a norma H 1 para medir o erro. Isso faz sentido porque, por exemplo, a solução não está no espaço W 1 , ∞ e, portanto, não faz sentido computar o erro máximo no gradiente simplesmente porque você não pode medir esse erro se mesmo a solução exata tiver pontos onde o gradiente não é finito. Em outras palavras, não faz sentido medir o erro na norma de um espaço X (por exemplo,$H^1$$H^1$$W^{1,\infty}$$X$ ) se as exactas mentiras solução em Y (por exemplo, Y = H 1 ) e X ⊂ Y .$X=W^{1,\infty}$$Y$$Y=H^1$$X\subset Y$

Por outro lado, frequentemente medimos o erro na norma de um espaço se Z ⊃ Y , por exemplo, quando medimos o erro em L 2 . Para essas outras normas, às vezes é devido à importância física, mas igualmente frequentemente é apenas uma questão de conveniência. A norma L 2 às vezes tem algum significado físico: por exemplo, a integral do quadrado do campo elétrico ∫ E ( x ) $Z$$Z\supset Y$$L_2$$L_2$ , isto é, o quadrado danorma L 2 , é a energia armazenada no campo elétrico; da mesma forma, o quadrado da norma da solução da equação de onda é a energia potencial armazenada na solução. Em outros momentos, é apenas uma norma escolhida convenientemente. Por exemplo, medir anorma L 2 do erro na equação de calor dependente do tempo é quase sempre a escolha errada, pois as quantidades fisicamente relevantes (a energia térmica total, a quantidade de material) são na realidade anorma L 1 da solução; neste caso, medir o erro nanorma L 2 não tem outro significado senão ser conveniente.$\int E(x)^2 \; dx$$L_2$$L_2$$L_1$$L_2$

A norma euclidiana é freqüentemente usada com base no pressuposto de que a distância euclidiana de dois pontos é uma medida razoável da distância. Mas, a menos que seja esse o caso, essa escolha não é preferível a uma escolha adaptada ao problema. Por exemplo, se o tamanho típico dos componentes de um vetor é muito diferente (uma vez que significam coisas muito diferentes), a norma euclidiana é muito pobre, pois dificilmente leva em consideração os efeitos das alterações nos componentes de tamanho pequeno. Nesse caso, é preciso primeiro dimensionar os vetores para ter componentes de tamanho semelhante antes de aplicar normas ou deve-se usar uma norma que dimensione diferentes componentes de maneira diferente.

$\|x\|$$x$$\|x_k−x\|\to 0$$\lim x_k=x$

Portanto, é preciso escolher uma norma significativa para obter resultados significativos.

Em espaços de dimensão infinita (que incluem em particular os espaços funcionais comuns), as normas não são mais equivalentes e normas diferentes podem levar a diferentes topologias. Agora é preciso escolher uma norma adequada mesmo para obter resultados finitos, e termos delimitadores podem ser impossíveis sem uma boa escolha da norma.

Como exercício, gostaria de sugerir que você compare os valores da -norm para para uma variedade de vetores em parametrizados por e faça o mesmo em vários espaços de sequências . Você apreciará as diferenças. Um bom exemplo é o vector com a entrada , onde . Aqui, para minúsculo e grande (aproxime a soma por uma integral) , que se torna infinitamente grande como quando$p$$p=1,2,\infty$$R^n$$n$$x=(x_1,x_2,\dots)$$i$$x_i=\epsilon/i^s$$s>0$$\epsilon$$n$$\|x\|_p\approx \epsilon\frac{1-1/n^{ps-1}}{ps-1}$$n\to\infty$$p\le 1/s$mas permanece pequeno quando .$p>1/s$

Algumas observações:

Em geral, qual norma você escolhe depende do que você deseja medir. É simples assim.

Para pde numérico, o -norm tem a propriedade conveniente de fornecer uma estrutura de espaço Hilbert. Um motivo natural para usar essa norma vem do tratamento de erros de medição, conforme descrito em https://scicomp.stackexchange.com/a/2763/238 . Não sei se existem outras razões além da viabilidade matemática.$L^2$

O -norm é usado quando você deseja afirmar um limite máximo no erro "pointwise". É natural representar o espaço duplo de por funções com a forma finita de .$L^\infty$$L^\infty$$L^1$

Outros -norms são usados em PDE não-linear, e as normas de Sobolev são a generalização simples de -spaces se você quiser controlar uma função e seus derivados generalizadas.$L^p$$L^p$