Dificuldade com o método espectral usando polinômios de Chebyshev

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Estou com um pouco de dificuldade em tentar entender um artigo. O artigo usa o método espectral para resolver um autovalor proveniente de um sistema de ODEs acoplados. Escreverei apenas uma equação agora, porque é suficiente para chegar ao cerne da (s) minha (s) pergunta (s).

A equação é

V[r]=e(ν[r]+λ[r])ϵ[r]+p[r][(ϵ[r]+p[r])(eν[r]+λ[r])rW[r]]

Eu executo o derivado e recebo

(Eq1) V=[ϵ+pϵ+p+r(ν+λ)+1]W+rW

Agora, de acordo com o artigo, eu deveria ser capaz de expandir as quantidades de equilíbrio ) do sistema como polinômios de Chebyshev da forma(ϵ,p,ν,λ

, ondeTi[y]são os polinómios. Eu sei como obter obiusando o código que eu escrevi em Mathematica. Tambémy=2(r/R)-1, e o domínio deré(0,R).B[r]=Σi=0biTi[y]12b0Ti[y]biy=2(r/R)1r(0,R)

O artigo também afirma que as funções ( ) podem ser expandidas como F [ r ] = ( rV,W, e que, em geral, um termo comoB[r]F[r]pode ser expresso comoF[r]=(rR)lΣi=0fiTi[y]12f0B[r]F[r]

B[r]F[r]=12(rR)lΣi=0πiTi[y]12π0

onde e Θ ( k ) = 0 para k < 0 e igual a 1 para k 0 .πi=Σj=0[bi+j+Θ(j1)b|i1|]flΘ(k)=0k<0k0

Com tudo isso dito, digamos que eu faça as seguintes funções de equilíbrio

eR(ν'+λ')=B2[r], torna-se então EQ1ϵ+pϵ+p=B1[r]r(ν+λ)=B2[r]

(Eq2) .((rR)lΣi=0viTi[y]12v0)=[B1[r]+B2[r]+1]((rR)lΣi=0wiTi[y]12w0)+rW

Question1: O que faço com o termos? Os polinômios são funções de[y],então como posso ter uma expansão comoB[r]=(r(rR)l[y]Função X de [y]? Também parece que eu posso apenas dividi-los em cada lado da equação, então qual foi o ponto de introdução desse termo? Quero dizer, de acordo com o artigo, esse termo deve impor a condição de contorno de queV,Wvão a zero ervai a zero.B[r]=(rR)euV,Wr

* Pergunta2: * Como eu devo lidar com o no termo r W . O artigo fornece uma descrição de como lidar com termos derivativos, mas e o próprio r . Devo tratá-lo como um valor de equilíbrio e usar a regra para termos como B [ r ] F [ r ] ou devo expressar esse r em termos de y . Ou devo fazer outra coisa completamente?rrWrB[r]F[r]ry

tau1777
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Talvez você possa vincular ao artigo que está referenciando?
Aron Ahmadia
Olá Aron, Aqui está o link arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf As coisas numéricas com as quais estou tendo problemas são descritas no Apêndice A, e a equação que eu estava examinando acima é a equação (19). Obrigado.
precisa saber é
Observe que si é uma função (linear) de ry (e, portanto, der). rRr
Christian Clason

Respostas:

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Não sei se é possível responder à pergunta sem uma leitura detalhada do artigo. Mas em relação à primeira pergunta, você tem . E esse fator não pode ser dividido, pois não multiplica todos os termos.r/R=(y+1 1)/2

Para a pergunta 2: como essa equação deve ser usada para aplicar a condição de contorno em , acho que o termo mencionado deve desaparecer.r=0 0

David Ketcheson
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