Dificuldade com o método espectral usando polinômios de Chebyshev

Estou com um pouco de dificuldade em tentar entender um artigo. O artigo usa o método espectral para resolver um autovalor proveniente de um sistema de ODEs acoplados. Escreverei apenas uma equação agora, porque é suficiente para chegar ao cerne da (s) minha (s) pergunta (s).

A equação é

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Eu executo o derivado e recebo

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Agora, de acordo com o artigo, eu deveria ser capaz de expandir as quantidades de equilíbrio ) do sistema como polinômios de Chebyshev da forma$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

, ondeTi[y]são os polinómios. Eu sei como obter obiusando o código que eu escrevi em Mathematica. Tambémy=2(r/R)-1, e o domínio deré(0,R).$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$$T_i[y]$$b_i$$y = 2(r/R) -1$$r$$(0,R)$

O artigo também afirma que as funções ( ) podem ser expandidas como F [ r ] = ( $V,W$, e que, em geral, um termo comoB[r]F[r]pode ser expresso como$F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$$B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

onde e Θ ( k ) = 0 para k < 0 e igual a 1 para k ≥ 0 .$\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$$\Theta(k) = 0$$k<0$$k\geq 0$

Com tudo isso dito, digamos que eu faça as seguintes funções de equilíbrio

eR(ν'+λ')=B2[r], torna-se então EQ1$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$$r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Eq2) .$\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Question1: O que faço com o termos? Os polinômios são funções de[y],então como posso ter uma expansão comoB[r]=($(\frac{r}{R})^l$$[y]$Função X de [y]? Também parece que eu posso apenas dividi-los em cada lado da equação, então qual foi o ponto de introdução desse termo? Quero dizer, de acordo com o artigo, esse termo deve impor a condição de contorno de queV,Wvão a zero ervai a zero.$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* Pergunta2: * Como eu devo lidar com o no termo r ∗ W ′ . O artigo fornece uma descrição de como lidar com termos derivativos, mas e o próprio r . Devo tratá-lo como um valor de equilíbrio e usar a regra para termos como B [ r ] F [ r ] ou devo expressar esse r em termos de y . Ou devo fazer outra coisa completamente?$r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

Não sei se é possível responder à pergunta sem uma leitura detalhada do artigo. Mas em relação à primeira pergunta, você tem . E esse fator não pode ser dividido, pois não multiplica todos os termos.$r/R = (y+1)/2$

Para a pergunta 2: como essa equação deve ser usada para aplicar a condição de contorno em , acho que o termo mencionado deve desaparecer.$r=0$