Qual é a idéia geral do método de Nitsche na análise numérica?

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Eu sei que o método de Nitsche é um método muito atraente, pois permite levar em consideração as condições de contorno do tipo Dirichlet ou o contato com as condições de contorno de atrito de maneira fraca, sem o uso de multiplicadores de Lagrange. E sua vantagem, que é transformar uma condição de limite de Dirichlet em termos fracos, da mesma forma que uma condição de limite de Neumann, é paga pelo fato de que a implementação depende do modelo.

No entanto, parece ser geral demais para mim. Você pode me dar uma idéia mais específica desse método? Um exemplo simples seria apreciado.

Anh-Thi DINH
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Acho que não entendi bem sua pergunta. Você identificou corretamente por que o método foi inventado (para manipular as condições de Dirichlet na forma fraca). O que você quer dizer com "No entanto, parece ser geral demais para mim. Você pode me dar uma idéia mais específica desse método? Um exemplo simples é caro".
Wolfgang Bangerth
@ WolfgangBangerth: Preciso de um exemplo (simples) para essa ideia. É tão abstrato para mim.
Anh-Thi DINH
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@ Oliver: Eu estou supondo que você quer dizer "caro" como em "querido", "precioso", isto é, "apreciado"? Tomei a liberdade de mudar a palavra; se você não concordar, fique à vontade para reverter a edição.
Christian Clason

Respostas:

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O método de Nitsche está relacionado aos métodos descontínuos de Galerkin (de fato, como Wolfgang aponta, é um precursor desses métodos) e pode ser derivado de maneira semelhante. Vamos considerar o problema mais simples, a equação de Poisson: Agora estamos procurando uma formulação variacional que

(1){Δu=fon Ω,u=gon Ω.
  1. está satisfeito com a solução (fraca) (isto é, consistente),uH1(Ω)
  2. é simétrico em e v ,uv
  3. admite uma solução única (o que significa que a forma bilinear é coercitiva).

Começamos como de costume, assumindo a forma forte da equação diferencial, multiplicando por uma função de teste e integrando por partes. Começando pelo lado direito, obtemos ( f , v ) = ( - Δ u , v )vH1 1(Ω) onde na última equação nós adicionamos o zero produtivo0=u-gno limite. Reorganizar os termos para separar as formas linear e bilinear agora fornece uma equação variacional para uma forma bilinear simétrica que é satisfeita para a soluçãouH1(Ω)de(1).

(f,v)=(-Δvocê,v)=(você,v)-Ωνvocêvds=(você,v)-Ωνvocêvds-Ω(você-g)νvds
0 0=você-gvocêH1 1(Ω)(1 1)

A forma bilinear no entanto não é violenta, já que não pode envolveram a partir de baixo para por c v 2 H 1 (uma vez que não têm quaisquer condições de contorno para arbitrária v H 1 ( Ω ) , não podemos utilizar a desigualdade de Poincaré como de costume - isso significa que podemos fazer a L 2 parte da norma arbitrariamente grande, sem alterar a forma bilinear). Portanto, precisamos adicionar outro termo (simétrico) que desaparece para a solução verdadeira: η Ω ( u - g ) vvocê=vc__v__H1 12vH1 1(Ω)eu2 para alguns η > 0 grandes o suficiente. Isto conduz à formulação fraco (simétrica, consistente, coerciva): encontrar u H 1 ( Ω ) tal que ( u , v ) - Ωvmax u vηΩ(você-g)vdsη>0 0vocêH1 1(Ω)

(você,v)-Ωνvocêvds-Ωvocêνvds+ηΩvocêvds=-Ωgνvds+ηΩgvds+Ωfvdxpara todos vH1 1(Ω).

você,vH1 1(Ω)vocêh,vhVhH1 1(Ω)ηch-1 1c>0 0

(Esta não é a derivação original de Nitsche, que antecede os métodos descontínuos de Galerkin e parte de um problema de minimização equivalente. Na verdade, seu artigo original não menciona a forma bilinear correspondente, mas você pode encontrá-la em, por exemplo, Freund e Stenberg, Em condições de contorno pouco impostas para problemas de segunda ordem , Proceedings of the Nona Int. Conf. Elementos Finitos em Fluidos, Veneza 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. Pp. 327-336 .)

Christian Clason
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Sua primeira frase não está errada, mas historicamente imprecisa: a idéia de Nitsche veio primeiro e inspirou o desenvolvimento de métodos descontínuos de Galerkin. Dito isto, isso não tira a resposta excelente.
Wolfgang Bangerth
@WolfgangBangerth Você certamente está correto; nenhuma causalidade estava implícita, apenas correlação. Mas é importante atribuir a devida atribuição, especialmente às pessoas que, de outra forma, são deslocadas rapidamente. Vou editar para deixar isso claro.
Christian Clason
Perguntas: 1. Você poderia elaborar mais sobre a questão da coercividade antes de adicionar o termo de limite adicional? 2. O que significa "não-conforme" aqui? 3. Pensei ter lido que a estabilidade é um resultado automático da coercividade da forma bilinear ..? Embora essa explicação seja bastante boa (a única explicação que pude encontrar de fato), alguém pode vincular-se a outra explicação geral do método (e / ou sua derivação) apenas para comparação? Mesmo que eu pudesse localizar o papel original, não tenho certeza se isso ajudaria muito. O artigo de Freund e Stenberg fornece apenas uma breve sinopse e algumas informações específicas
Noites,
VhHg1 1(Ω)
Noites, editei a resposta para abordar seus pontos (exceto no seu segundo parágrafo, obviamente).
Christian Clason