Localizando o ponto fixo de um operador

Quais métodos numéricos estão disponíveis para encontrar o ponto fixo de um operador que atua nas funções ? Eu estou procurando a função para a qual .$A$$f : [a,b] \rightarrow [a,b]$$f$$Af = f$

Detalhes essenciais:

Minha função é na verdade uma função de densidade de probabilidade de uma distribuição no círculo (ou seja, no periódico interno ). Isso também significa que para qualquer , o que facilita o problema. Digamos que temos essa função amostrada com alguma densidade e podemos calcular o operador numericamente. A distribuição não é necessariamente contínua, ou seja, pode ser assim:$f$$[0,2\pi)$$0 \le f(x) \le 1$$x \in [0,2\pi)$$A$

Estou procurando métodos e sugestões sobre como fazer isso. Vou tentar implementar isso no Mathematica primeiro.

Todos os detalhes confusos do meu problema prático:

É assim que eu realmente computo o operador : $A$

1. Recebo a distribuição que tenho como um grande número de amostras extraídas dela
2. Estimo o PDF e o envolvo com um kernel "quadrado" ("quadrado" significa que é semelhante à figura acima). Isso me dá uma função bastante suave.
3. Limito a função para obter outra função de valor binário .$g:[a,b] \rightarrow {0,1}$
4. A partir desta função de valor binário, calculo novamente um grande número de amostras retiradas da distribuição

Mencionei isso porque significa que, em vez de trabalhar com PFDs, também poderíamos trabalhar com a função suave (após a convolução) ou com a função de valor binário. Na verdade, eu estava trabalhando com a função de valor binário na prática.

Eu sei que pontos fixos de funções reais simples (não operadores) podem ser "atraentes" ou "repulsivos", ou seja, ao aplicar a função repetidamente a um número, ela converge para um ponto fixo ou é repelida por ela. Não sei de que tipo é o ponto fixo do meu operador.

Sei que meu operador sempre tem a distribuição uniforme como um ponto fixo, mas às vezes (dependendo dos meus parâmetros) pode ter outro. É este outro que preciso encontrar.

Tentei aplicar o operador repetidamente para ver o que acontece e, às vezes, converge para o ponto fixo que desejo. Mas, mesmo que não converja, um ponto fixo ainda pode existir (ou só poderá convergir para esse ponto fixo se eu usar uma condição inicial diferente). Então, eu preciso de um método mais robusto.

Detalhes ainda mais confusos:

$[0,2\pi)$$[0,a)$$a$$a$$a$

Por que mencionei esse detalhe complexo (aparentemente localizado demais), que não é essencial para a pergunta? Como quando você lê que a distribuição está em um intervalo periódico, você perceberá que, se uma distribuição for um ponto fixo, qualquer rotação dessa distribuição no intervalo também será um ponto fixo. Isso pode fazer você pensar se erros numéricos na computação da aplicação do operador no ponto fixo farão com que o ponto fixo pareça "girar" levemente. Eu posso compensar isso, então isso não é um problema.

$f$$f$

$u(r)$$g(r)$$f$${\mathcal A}f = f$$u^{(k)}(r)$$u^{(k+1)}(r)$