Computando séries ligeiramente oscilatórias com alta precisão?

Suponha que eu tenha a seguinte função interessante: Tem algumas propriedades desagradáveis, como sua derivada não sendo contínua em múltiplos racionais de . Eu suspeito que um formulário fechado não existe.

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

Posso computá-lo calculando somas parciais e usando a extrapolação de Richardson, mas o problema é que é muito lento para calcular a função com um bom número de dígitos decimais (100 seria bom, por exemplo).

Existe um método que possa lidar melhor com essa função?

Aqui está um gráfico de com alguns artefatos: $f'(\pi x)$

$Derivada da função, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation Kirill
fonte

Talvez você possa usar o fato de que , onde é um polinômio de Chebyshev. Então a soma começa a parecer uma série de polinômios racionais. Então, se você puder transformar a série em um polinômio racional em uma base Chebyshev, isso permitiria uma maneira muito eficiente de resumir. Se você não conhece os polinômios e a base de Chebyshev, as Receitas numéricas em C têm uma boa cartilha, assim como: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

Jay Lemmon

er, que deveria dizer

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

Jay Lemmon

@JayLemmon Obrigado por esse link. Vou dar uma olhada e ver se isso ajuda.

Kirill

Estou entrando nessa festa um pouco tarde, mas você tentou usar as aproximações de Padé, ou seja, o algoritmo

Algoritmo em vez da extrapolação de Richardson?

ε

$\varepsilon$

Pedro

Por analogia com o caso de integrais altamente oscilatórias, acho que você não será capaz de fazer um bom trabalho sem ter conhecimento da separação entre partes oscilatórias e não-oscilatórias. Se você tem essa separação, a resposta da série Fourier fornece uma convergência exponencial fácil.

Geoffrey Irving

Respostas:

Se as técnicas analíticas não forem permitidas, mas a estrutura periódica for conhecida, aqui está uma abordagem. Seja ser periódica com período de, de modo que onde

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} W_{j} e^{Eu j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

Assim,

W_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0 0}^{2 π} g (x) e^{- Eu j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

Você pode aproximar as integrais

diretamente ou calcular vários valores de

e usar um DFT. Em qualquer um dos casos, é possível aplicar a extrapolação de Richardson ao resultado. Como no seu caso,

é analítico em uma vizinhança de

, a série final converge exponencialmente mesmo sem Richardson.

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} W_{j} e^{Eu j k x} \\ = \sum_{j} W_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{Eu j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} W_{j} {Li}_{p} (e^{Eu j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

Geoffrey Irving
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g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{porque k x}{k^{2} (2 - porque k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{porque k x}{2 - porque k x} \sum_{n \geq 0 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{porque k x}{2 - porque k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ Valores e derivativos para as séries

Geoffrey Irving
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Obrigado. O problema é que eu selecionei essa função específica como modelo para outra função mais complicada que eu realmente queria avaliar, com recursos semelhantes, mas na verdade não os mesmos. Estou ciente do formulário fechado desta pergunta no MSE . Eu quis dizer isso como uma pergunta sobre somar uma série infinita numericamente sem forma fechada.

Kirill

Talvez minha outra resposta seja melhor então?

Geoffrey Irving

E a transformação em U de Levin ? Além dos códigos Fortan, existem várias versões no GSL : `gsl_sum_levin_u * ' . O MuPAD e o Maple da Matlab usam esse esquema.

horchler
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Eu tentei, mas achei a extrapolação de Richardson mais precisa.

Kirill #