Quais solucionadores lineares iterativos convergem para matrizes semidefinidas positivas?

10

Quero saber quais dos resolvedores lineares clássicos (por exemplo, Gauss-Seidel, Jacobi, SOR) têm a garantia de convergir para o problema onde é semi- definido positivo e, é claro,A b i m ( A )Ax=bAbim(A)

(O aviso é semi-definido e não definido)A

olamundo
fonte
11
Você quer dizer matrizes semi-definidas positivas?
meawoppl
11
Qual é a utilidade de resolver sistemas lineares com essa matriz? Se não me engano, se sua matriz semidefinida positiva é não singular, então é simplesmente positiva.
faleichik
11
Sim eu tenho certeza. Eu tenho que atualizar minha memória quanto à prova real, mas de acordo com o que você estava dizendo - se o denominador no cálculo de for zero, significa que A P k é zero, o que significa que todas as "direções de pesquisa" nas quais A não é singular foi esgotado, e o resíduo que você fica não está no intervalo de A (e, portanto, esta é a solução "ideal"). No caso em que, de facto, b s p um n ( A ) , isto não acontecer como o residual irá chegar a zero imediatamente antes de, pela primeira vez Um P k = 0αAPkbspan(A)APk=0
olamundo
11
Defina . Em seguida, um n b I m ( A ) . GC irão convergir devido ao x * n Um x n > 0 para todos 0 x nI m ( A ) . Em outras palavras, você nunca deixa I m ( A ) para o qual A é positivo-definido. x0=bAnbIm(A)xnAxn>00xnIm(A)Im(A)A
Death Breath
2
@faleichik: matrizes de densidade reduzida na mecânica quântica são semi-definidas positivas em muitos casos.
Deathbreath

Respostas:

8

O algoritmo de gradiente conjugado funciona para problemas semidefinidos e produz a solução de norma mínima.

Arnold Neumaier
fonte
obrigado. Qualquer idéia sobre os solucionadores "arcaicos", por exemplo, SOR Gauss-Seidel etc.
olamundo
Eles quase nunca são mais usados, e eu não sei como eles se comportam.
Arnold Neumaier
Para esclarecer: o CG certamente não funciona na forma de baunilha para matrizes semi-definidas; pode funcionar em teoria se B estiver na imagem de A; mas é improvável que isso termine bem na prática numérica. O MINRES muito semelhante, baseado em krylov, é uma escolha muito melhor aqui. Além disso, esses solucionadores "arcaicos" são amplamente usados ​​em solucionadores do tipo multigrid, para citar um exemplo.
Eelco Hoogendoorn
1

bA

O mesmo não se aplica a Jacobi; o que é uma pena, já que quem quer se preocupar com Gauss-Seidel em hardware de computador moderno? Se o seu problema puder ser dividido em blocos dominantes na diagonal, você estará com sorte; você pode aplicar as atualizações Jacobi a esses blocos de maneira incremental de Gauss-Seidel e obter o melhor de ambos para esse tipo de problemas semidefinidos.

Eelco Hoogendoorn
fonte