Por que um expoente negativo presente nas transformadas de Fourier e Laplace?

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Alguém poderia explicar por que há uma necessidade de expoente negativo nas transformadas de Fourier e Laplace.Eu olhei através da Web, mas não consegui nada. Será que algo acontece se um expoente positivo for colocado nessas transformações.

Ao examinar o http://1drv.ms/1tbV45S, ele diz que se se torna uma função que diminui rapidamente, enquanto que se se torna uma função que aumenta rapidamente, eu não poderia entender isso. Alguém pode ilustrar isso.s>0s<0

justin
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Respostas:

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Matt está certo de que o sinal é uma convenção. Eu acho que há uma razão para isso além disso.

Se olharmos para frequências complexas no plano complexo, elas se parecem com vetores constantes que giram em uma direção ou outra. As frequências positivas giram no sentido anti-horário, as frequências negativas giram no sentido horário e as frequências "0 Hz" não giram.

Frequência positiva

A transformada de Fourier tem um sinal negativo para girar intencionalmente na direção oposta às frequências que eles estão "procurando".

Frequência negativa

A razão para a rotação oposta é que, quando os dois vetores de frequência são multiplicados, suas fases se cancelam repetidamente; portanto, quando os resultados são somados, haverá um vetor massivo devido a todos os vetores individuais alinhados.

X(f)=n=0N1x(n)ej2πkn/N

Vetores de frequência de Fourier

É assim que a transformada de Fourier "procura" por frequências. Se as duas frequências forem iguais ou "próximas" (quão próximas elas precisam estar depende do comprimento da DFT), elas se alinham bem e causam uma resposta maciça no somatório. Eu mostrei como isso funciona para a transformada discreta de Fourier (DFT), mas o mesmo raciocínio se aplica à transformação contínua.

Espero que isso explique por que a transformada de Fourier iria querer que os vetores girassem na direção oposta. Para ser perfeitamente sincero, não sei se a Laplace se transforma suficientemente bem para fornecer um sólido raciocínio para seu sinal negativo. Como as duas transformações estão intimamente relacionadas (a transformada de Laplace é uma generalização da transformada de Fourier), presumo que seja por razões semelhantes.

Jim Clay
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Outra visão seria examinar a transformação inversa e afirmar que parece mais natural compor um sinal em uma soma (ou integral) de exponenciais complexas (com um sinal positivo no expoente). Mas de qualquer maneira, nenhuma mudança significativa ocorreria se a convenção de sinal fosse alterada.
Matt L.
@MattL. Concordou em ambas as acusações.
Jim Clay
@ JimClay: A ilustração é boa. Você está dizendo que, como o produto escalar de vetores inclui cosθ, se a rotação for oposta, os vetores seriam adicionados.
justin
@justin Eu não tenho certeza de onde o cosθque você está falando vem. Talvez você esteja recebendo isso deejθ=cos(θ)+jsin(θ)? De qualquer forma, a segunda imagem serve para ilustrar aej2πkn/Nno produto cruzado de transformada de Fourier. Está girando no sentido horário no plano complexo. Em outras palavras, cada amostra é a mesma fase que a amostra anterior, menos alguma fase constante. As baixas frequências têm pequenas diferenças de fase, as altas frequências têm grandes diferenças de fase.
Jim Clay
@ JimClay: Mas na transformação de Fourier estamos realmente "adicionando" cada sinal ou "multiplicando" eles?
Justin
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Para a transformação de Fourier, o sinal do expoente é pura convenção. Observe que, para a transformação inversa, você tem um sinal positivo no expoente. Você também pode definir a conversão de Laplace com um sinal positivo no expoente. Em qualquer caso, você deseja que o amortecimento exponencial da função no domínio do tempo seja transformado, portanto a parte real do expoente complexo deve ser negativa. Se você mudous para s então a região de convergência da transformação unilateral de Laplace mudaria de {s}>a para {s}<a para alguma constante com valor real a.

Matt L.
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Eu atualizei o post. Você poderia vê-lo.
Justin
@justin: O integrando é f(t)est. Coms=σ+jω você recebe f(t)eσtejωt. Paraσ>0 você recebe amortecimento exponencial de f(t) (para t>0) Caso contrário, você obteria um fator exponencialmente crescente que poderia fazer a integral divergir.
Matt L.
você poderia dizer o que faz j,ω e σrepresentam na variável do complexo para uma análise de sinal.
Justin
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@justin: eu usei j como a unidade imaginária (como de costume em EE, outras pessoas chamam de i) E desdes=σ+iω, σ é a parte real de se ω é a parte imaginária de s.
Matt L.
você poderia explicá-lo usando características de sinal em vez de abordagem teórica.
Justin
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eu diria apenas que a convenção original é representar sinusóides complexos com um expoente positivo. então um "fasor" de tensão seria

v(t)=Vejωt

(V é uma constante complexa e |V| representa a magnitude do fasor e arg{V} representa a fase do fasor.) Suponho que poderíamos definir a convenção como

v(t)=Vejωt

mas minha pergunta seria "por que se preocupar?"

por que um exponencial complexo? Porqueesté uma função própria (essencialmente a função própria) de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI), aos quais aplicamos as transformações de Fourier e Laplace. quandoest entra em um sistema de LTI, algumas vezes est sai.

Os sistemas LTI podem ser completamente descritos por, ou ter sua relação de entrada / saída completamente descrita por sua resposta ao impulso h(t). essa descrição é convolução:

y(t)=h(τ)x(tτ) dτ

se a entrada for

x(t)=est

a saída é

y(t)=h(τ)x(tτ) dτ=h(τ)es(tτ) dτ=h(τ)esτ dτ  est=H(s) est=H(s) x(t)

tão x(t)=est é uma função própria e o valor próprio, o que escala a função própria em um sistema de LTI é H(s) e diretamente relacionado a h(t).

então o resto é sobre Fourier. então Fourier generaliza um pouco, primeiro com um periódicox(t) que Fourier postula que pode ser representado com sinusóides todos tendo o mesmo período que x(t).

x(t+T)=x(t)t

x(t)=k=X[k] ej2πkTt

ainda é a convenção original: defina o sinal como um fasor ejωt. o expoente positivo permanece. X[k]são os "coeficientes de Fourier" .

então sabemos que a saída é

y(t)=k=H(j2πkT)X[k] ej2πkTt=k=Y[k] ej2πkTt

outra função periódica, com o mesmo período, mas com diferentes coeficientes de Fourier.

então positivo ω no expoente.

Então, quais são esses coeficientes de Fourier?

0Tx(t)ej2πmTt dt=0Tx(t)ej2πmTt dt=0Tk=X[k]ej2πkTtej2πmTt dt=0Tk=X[k]ej2π(km)Tt dt=k=X[k]0Tej2π(km)Tt dt

para cada k na soma em que km, a integral é zero, portanto o termo na soma é zero.

0Tej2π(km)Tt dt={0,for kmT,for k=m

para o termo único diferente de zero, quando k=m, temos

0Tx(t)ej2πmTt dt=X[m]T

tão

X[m]=1T 0Tx(t)ej2πmTt dt

é daí que o expoente negativo vem. precisamos que o expoente seja negativo para que apenas omth termo no somatório sobrevive (quando k=m e ej2π(km)Tt=1), isolando assim um único X[m]então sabemos o que é. caso contrário, seria omth longo prazo e teríamos que mudar a convenção em nossa definição original de x(t).

isso permanece essencialmente o caso, pois a representação da série de Fourier é generalizada para não periódica x(t), onde o somatório se torna uma integral. porque definimos nosso sinal como uma espécie de somatório integral dessas funções próprias exponenciais (com expoentes positivos):

x(t)=12πX(jω)ejωt dω

novamente, para obter esses "coeficientes" de Fourier, precisamos de um expoente negativo:

X(jω)=x(t)ejωtdt

Laplace generaliza ainda mais, permitindo que esse valor puramente imaginário jω para ser um valor complexo mais geral, s=σ+jω. mas isso não altera a convenção de assinatura.

Robert Bristow-Johnson
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você poderia dizer por que esté uma função própria?
Justin
claro, eu já tinha. primeiro, a equação geral de entrada / saída para um sistema LTI é a equação de convolução:
y(t)=h(τ)x(tτ) dτ
defina a entrada como
x(t)=est
em seguida, conecte-o à equação da convolução e veja o que sai y(t). você precisa de alguém para explicar como a integral de convolução é derivada?
Robert Bristow-johnson
: Gostaria de saber se é apenas para entrada est teríamos uma saída em termos de est voltar ou existe alguma outra função? Mais especificamente, quero saber por que a ênfase é dada em "ext(x pode ser complexo ou real) na maioria das transformações como DFT, transformação de Laplace, transformação Z etc.
justin
eu acredito que a forma exponencial, x(t)=est, é a única forma funcional para uma função própria para sistemas lineares invariantes no tempo (LTI). lembre-se dissos apenas define, de maneira geral, a base do exponencial desde est=(es)t=at, portanto, qualquer função exponencial dettrabalho. não acredito que qualquer outra forma geral de função passe pela integral de convolução sem alterar sua forma. talvez uma série de poder:
x(t)=n=0antn
é sobre isso.
Robert Bristow-johnson
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O expoente negativo na transformação direta é necessário e inevitável, porque os axiomas internos do produto para vetores ou funções complexas sem conjugação são inconsistentes.

Por exemplo, o produto interno de um vetor complexo por si só não seria real e não negativo sem conjugação.

Patrick
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