Diferença entre transformada discreta de Fourier e transformada discreta de Fourier

Eu li muitos artigos sobre DTFT e DFT, mas não sou capaz de discernir a diferença entre os dois, exceto por algumas coisas visíveis, como DTFT vai até o infinito, enquanto DFT é apenas até N-1. Alguém pode explicar a diferença e quando usar o quê? Wiki diz

A DFT difere da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT), pois suas seqüências de entrada e saída são finitas; é, portanto, considerada a análise de Fourier das funções de tempo discreto de domínio finito (ou periódico).

É a única diferença?

Edit: Este artigo explica bem a diferença

A transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) é a transformada de Fourier (convencional) de um sinal em tempo discreto. Sua produção é contínua em frequência e periódica. Exemplo: para encontrar o espectro da versão amostrada de um sinal de tempo contínuo x ( t ), o DTFT pode ser usado.$x(kT)$$x(t)$

A transformada discreta de Fourier (DFT) pode ser vista como a versão amostrada (no domínio da frequência) da saída DTFT. É usado para calcular o espectro de frequência de um sinal de tempo discreto com um computador, porque os computadores podem lidar apenas com um número finito de valores. Eu argumentaria contra a saída DFT sendo finita. Também é periódico e, portanto, pode ser continuado infinitamente.

Resumindo:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Uma propriedade matemática do DFT é que tanto a entrada quanto a saída são periódicas com o comprimento do DFT . Ou seja, embora o vetor de entrada para o DFT seja finito na prática, é correto dizer que o DFT é o espectro amostrado se a entrada DFT for periódica.$N$

tudo bem, eu vou responder isso com um argumento que os "oponentes" à minha rígida posição nazista em relação à DFT têm.

Em primeiro lugar, minha posição rígida e nazista : a DFT e a Discrete Fourier Series são a mesma coisa. o DFT mapeia uma sequência infinita e periódica, $x[n]$ com o período $N$ no domínio "tempo" para outra sequência infinita e periódica, $X[k]$ , novamente com o período $N$ , no domínio "frequência". e o iDFT mapeia de volta. e são "injetáveis" ou "invertíveis" ou "particulares".

DFT:

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT:

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

isso é fundamentalmente o que é o DFT. é inerentemente uma coisa periódica ou circular.

mas os negadores da periodicidade gostam de dizer isso sobre a DFT. é verdade, simplesmente não altera nenhuma das opções acima.

então, suponha que você tenha uma sequência de comprimento finito $x[n]$ de comprimento $N$ e, em vez de estendê-la periodicamente (que é o que a DFT faz inerentemente), acrescente essa sequência de comprimento finito com zeros infinitamente à esquerda e à direita. então

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

agora, esta sequência infinita não-repetição faz ter uma DTFT:

TFTD: X ( de e j ω ) = + ∞ Σ n = - ∞ x [ n ] e - j ω n

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$é a transformada z de x [n]avaliadas na unidade círculoz=ejωpara infinitamente muitasverdadeirosvalores deω. Agora, se estivesse a amostra que TFTD X (de ejω)emNpontos igualmente espaçados sobre o círculo unitário, com um ponto emz=ejω=1, que se obtém$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

é exatamente assim que o DFT e o DTFT estão relacionados. amostragem da TFTD em intervalos uniformes nas causas de domínio "frequência", no domínio de "tempo", a sequência original x [ n ] para ser repetido e deslocado por todos os múltiplos de N e adicionou-se sobrepõem. é isso que a amostragem uniforme em um domínio causa no outro domínio. mas, uma vez que x [ n ] é a hipótese de ser 0 no exterior do intervalo de 0 ≤ n ≤ N - 1 , que se sobrepõem-adição não faz nada. que apenas periodicamente se estende a parte diferente de zero de x [ n$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$ , nossa sequência de comprimento finito original,$x[n]$ .

Como a saída DTFT é contínua, ela não pode ser processada com computadores. Portanto, temos que converter esse sinal contínuo em forma discreta. Nada mais é do que a DFT como um avanço adicional na FFT para reduzir os cálculos.

Se eu estiver correto, mesmo que a entrada DFT seja periódica, embora o número de amostras seja finito, a matemática por trás dela a trata como uma sequência infinita que periodicamente inicia as Namostras após seu término. Por favor corrija-me se eu estiver errado.

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ SEU INVERSO SERÁ: $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$