Diferença entre transformada discreta de Fourier e transformada discreta de Fourier

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Eu li muitos artigos sobre DTFT e DFT, mas não sou capaz de discernir a diferença entre os dois, exceto por algumas coisas visíveis, como DTFT vai até o infinito, enquanto DFT é apenas até N-1. Alguém pode explicar a diferença e quando usar o quê? Wiki diz

A DFT difere da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT), pois suas seqüências de entrada e saída são finitas; é, portanto, considerada a análise de Fourier das funções de tempo discreto de domínio finito (ou periódico).

É a única diferença?

Edit: Este artigo explica bem a diferença

BaluRaman
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O DTFT é uma função contínua da frequência, mas o DFT é uma função discreta da frequência.
John
O ponto principal é:DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT
nmxprime
@nmxprime Você quer dizer que a DFT é uma amostra da versão da DTFT?
endolith
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@endolith Yes.it é
nmxprime 3/16
O artigo que você vinculou (página 2) diz que "a CTFT nos deu um espectro de frequência discreto". Isso não está errado? Eu pensei que a frequência fosse contínua nesse caso de sinal aperiódico de tempo contínuo passando pela Transformada de Fourier.
Aditya P

Respostas:

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A transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) é a transformada de Fourier (convencional) de um sinal em tempo discreto. Sua produção é contínua em frequência e periódica. Exemplo: para encontrar o espectro da versão amostrada de um sinal de tempo contínuo x ( t ), o DTFT pode ser usado.x(kT)x(t)

A transformada discreta de Fourier (DFT) pode ser vista como a versão amostrada (no domínio da frequência) da saída DTFT. É usado para calcular o espectro de frequência de um sinal de tempo discreto com um computador, porque os computadores podem lidar apenas com um número finito de valores. Eu argumentaria contra a saída DFT sendo finita. Também é periódico e, portanto, pode ser continuado infinitamente.

Resumindo:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Uma propriedade matemática do DFT é que tanto a entrada quanto a saída são periódicas com o comprimento do DFT . Ou seja, embora o vetor de entrada para o DFT seja finito na prática, é correto dizer que o DFT é o espectro amostrado se a entrada DFT for periódica.N

Deve
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você não significa que a entrada DTFT é no finito?
Dr. Lutz Lehmann
@LutzL Pode ser infinito em geral, sim. Eu vou mudar isso. E a saída DFT: você prefere chamá-la de finita ou periódica ?
DEVE
i acha saída de DFT é N-periódica, sequência finita
BaluRaman
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Na DFT, muito depende da interpretação. Do ponto de vista técnico, transforma finito em finito. Do ponto de vista que ele calcula os coeficientes de um polinômio trigonométrico, pode-se dizer que ele transforma infinitos periódicos discretos em finitos. Mas pode-se mudar a janela de frequências usada para representar a entrada, e as amplitudes em todas as frequências possíveis formam novamente uma sequência periódica.
Dr. Lutz Lehmann
Para ser mais consistente, eu colocaria "periódico" em vez de "finito" para a entrada da DFT. Esta é uma conseqüência direta da DFT (saída) ser discreta.
Matt L.
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tudo bem, eu vou responder isso com um argumento que os "oponentes" à minha rígida posição nazista em relação à DFT têm.

Em primeiro lugar, minha posição rígida e nazista : a DFT e a Discrete Fourier Series são a mesma coisa. o DFT mapeia uma sequência infinita e periódica, x[n] com o período N no domínio "tempo" para outra sequência infinita e periódica, X[k] , novamente com o período N , no domínio "frequência". e o iDFT mapeia de volta. e são "injetáveis" ou "invertíveis" ou "particulares".

DFT:

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N

iDFT:

x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N

isso é fundamentalmente o que é o DFT. é inerentemente uma coisa periódica ou circular.

mas os negadores da periodicidade gostam de dizer isso sobre a DFT. é verdade, simplesmente não altera nenhuma das opções acima.

então, suponha que você tenha uma sequência de comprimento finito x[n] de comprimento N e, em vez de estendê-la periodicamente (que é o que a DFT faz inerentemente), acrescente essa sequência de comprimento finito com zeros infinitamente à esquerda e à direita. então

x^[n]{x[n]for 0nN10otherwise

agora, esta sequência infinita não-repetição faz ter uma DTFT:

TFTD: X ( de e j ω ) = + Σ n = - x [ n ] e - j ω n

X^(ejω)=n=+x^[n]ejωn

X^(ejω)é a transformada z de x [n]avaliadas na unidade círculoz=ejωpara infinitamente muitasverdadeirosvalores deω. Agora, se estivesse a amostra que TFTD X (de ejω)emNpontos igualmente espaçados sobre o círculo unitário, com um ponto emz=ejω=1, que se obtémx^[n]z=ejωωX^(ejω)Nz=ejω=1

X^(ejω)|ω=2πkN=n=+x^[n]ejωn|ω=2πkN=n=+x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x[n]ej2πkn/N=X[k]

é exatamente assim que o DFT e o DTFT estão relacionados. amostragem da TFTD em intervalos uniformes nas causas de domínio "frequência", no domínio de "tempo", a sequência original x [ n ] para ser repetido e deslocado por todos os múltiplos de N e adicionou-se sobrepõem. é isso que a amostragem uniforme em um domínio causa no outro domínio. mas, uma vez que x [ n ] é a hipótese de ser 0 no exterior do intervalo de 0 n N - 1 , que se sobrepõem-adição não faz nada. que apenas periodicamente se estende a parte diferente de zero de x [ nx^[n]Nx^[n]00nN1x^[n] , nossa sequência de comprimento finito original,x[n] .

Robert Bristow-Johnson
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A resposta aceita foi boa, mas achei sua resposta mais esclarecedora. Obrigado por fornecer a conexão matemática real entre o DTFT e o DFT ... especialmente a amostragem dos espectros, causando periodicidade no domínio do tempo. Esse é um ponto que eu sempre esqueço.
rayryeng - Restabelece Monica
Seu segundo parágrafo parece sugerir que os DFTs aceitam sequências de entrada com tamanho infinito. Alguém já realizou uma DFT de tamanho infinito?
Richard Lyons
ei Rick, é bom vê-lo aqui no comp.dsp . Lembro-me de ter sido recebido pelo @PeterK quando migrou pela primeira vez (mas nunca deixarei o comp.dsp ). de qualquer maneira, no mesmo grau em que o DFS aceita uma sequência de entrada de tamanho infinito, é o grau em que o DFT aceita uma entrada de tamanho infinito. tudo o que estou dizendo é que o DFT e o DFS são um e o mesmo.
Robert Bristow-johnson
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@robert bristow-johnson. essa foi uma bela explicação. minha pergunta pode ser ruim, mas, por séries discretas de fourier, você está se referindo ao caso em que a entrada é uma função periódica contínua que continua infinitamente nas duas direções, correto? Pelo que me lembro dizer, ao ler o livro doverton de george silov, se você aumentar o número de coeficientes de fourier usando uma grade de frequências suficientemente fina, a série de fourier pode reproduzir arbitrariamente de perto uma função contínua de período. este é o fs que você está se referindo, quando você diz que é o mesmo que DFT, correto? THX.
marca de leeds
X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N
x[n]X[k]N
x[n+N]=x[n]nZ
X[k+N]=X[k]kZ
N
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Como a saída DTFT é contínua, ela não pode ser processada com computadores. Portanto, temos que converter esse sinal contínuo em forma discreta. Nada mais é do que a DFT como um avanço adicional na FFT para reduzir os cálculos.

gaurav singhal
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Se eu estiver correto, mesmo que a entrada DFT seja periódica, embora o número de amostras seja finito, a matemática por trás dela a trata como uma sequência infinita que periodicamente inicia as Namostras após seu término. Por favor corrija-me se eu estiver errado.

ubuntu_noob
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alguns no comp.dsp com os quais tive argumentos podem "corrigi-lo", mas estão errados. não há diferença entre o DFT e o discreto Fourier Series. nenhum.
Robert Bristow-johnson
Para me ajudar a entender o que está sendo dito aqui, tenho uma pergunta sobre o resultado da operação que você chama de "série discreta de Fourier". Essa saída é uma sequência de números ou uma função contínua (uma equação)?
Richard Lyons
-1

X[k]=n=0 0N-1x[n]e-j2πnk/N
SEU INVERSO SERÁ:
x[n]=1Nk=0 0N-1X[k]ej2πnk/N
user25761
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Use a marcação Latex para que sua matemática seja legível e explique um pouco mais do processo que você seguiu, para que sua resposta possa realmente ajudar o OP.
MBaz 5/01