Qual é o verdadeiro significado de um sistema de fase mínima?

Qual é o verdadeiro significado de um sistema de fase mínima ? Ler o artigo da Wikipedia e Oppenheim é uma ajuda, pois entendemos que, para um sistema de LTI , a fase mínima significa que o inverso é causal e estável. (Isso significa que zeros e pólos estão dentro do círculo unitário), mas o que "fase" e "mínimo" têm a ver com isso? Podemos dizer que um sistema é de fase mínima observando a resposta de fase da DFT de alguma forma?

A relação de "mínimo" para "fase" em um sistema ou filtro de fase mínima pode ser vista se você plotar a fase não empacotada em relação à frequência. Você pode usar um diagrama de pólo zero da resposta do sistema para ajudar a fazer um gráfico gráfico incremental da resposta de frequência e ângulo de fase. Esse método ajuda na realização de um gráfico de fase sem descontinuidades de quebra de fase.

Coloque todos os zeros dentro do círculo da unidade (ou no meio plano esquerdo no caso de tempo contínuo), onde todos os pólos devem estar também para a estabilidade do sistema. Adicione os ângulos de todos os pólos e o negativo dos ângulos de todos os zeros, para calcular a fase total em um ponto no círculo unitário, à medida que esse ponto de referência de resposta em frequência se move ao redor do círculo unitário. Fase de plotagem vs. frequência. Agora compare esse gráfico com um gráfico semelhante para um diagrama de pólo zero com qualquer um dos zeros trocados fora do círculo unitário (fase não mínima). A inclinação média geral da linha com todos os zeros dentro será menor do que a inclinação média de qualquer outra linha representando a mesma resposta do sistema LTI (por exemplo, com um zero refletido fora do círculo da unidade). Isso ocorre porque as "finalizações" no ângulo da fase são todas canceladas pela "

Esse arranjo, todos os zeros dentro do círculo unitário, corresponde ao aumento total mínimo na fase, que corresponde ao atraso total médio mínimo da fase, que corresponde à compactação máxima no tempo, para qualquer conjunto (estável) de pólos e zeros com exatamente a mesma resposta de magnitude de frequência. Assim, a relação entre "mínimo" e "fase" para esse arranjo específico de pólos e zeros.

Veja também minha foto antiga com alças estranhas nos antigos arquivos da usenet comp.dsp: https://groups.google.com/d/msg/comp.dsp/ulAX0_Tn65c/Fgqph7gqd3kJ

Como você já viu, a fase mínima tem muitos significados e implicações físicas. A origem da fase é que, para uma dada magnitude da resposta em frequência, ela corresponde ao filtro que possui a menor quantidade de atraso do grupo. Ou seja, você pode ter vários filtros com a mesma magnitude de resposta de frequência, mas um deles pode ser realizado com a menor quantidade de atraso do filtro. Nesse sentido, é altamente desejado em sistemas de controle em que o atraso na filtragem pode ser crítico para a estabilidade. Estou abusando de alguma notação aqui, pois a fase "atraso" pode ter muitos significados, mas a essência está lá (e, para o atraso do grupo, é um fato).

Em outros reinos, se um sistema é uma fase mínima, seu inverso terá todos os seus pólos dentro do círculo unitário e será causal. Portanto, um sistema de fase mínima tem um inverso estável. Isso é importante em muitos outros aplicativos por razões óbvias. Se você precisar resolver um sistema linear de equações, saber que o sistema é uma fase mínima garante que sua inversa será uma fase mínima e, portanto, a estabilidade é garantida (fora de quaisquer efeitos de quantização).

Pode não ser óbvio se um sistema é uma fase mínima observando a DFT. Existe uma relação entre a magnitude de um sistema de fases mínimas e sua fase, mas pode não ser visualmente óbvio. No entanto, os filtros de treliça adaptativa têm a característica clara de que os filtros mínimos de fase são facilmente identificados se todos os coeficientes de reflexão forem menores ou iguais a um em magnitude. Dessa forma, os filtros calculados adaptativamente podem ser determinados se estiverem estáveis ​​em tempo real com pouca lógica.

Uma das propriedades mais úteis do sistema de fase mínima é que elas possuem uma resposta de impulso que é a mais compacta possível no tempo possível para qualquer função de amplitude. Tecnicamente, isso pode ser expresso como

Leitura

Este artigo parece ter alguma sabedoria sobre o assunto de sistemas de fase mínima:

• John Bechhoefer, " Kramers-Kronig, Bode e o significado de zero ", American Journal of Physics 79 , 10 (2011).