Diferenças entre filtragem e suavização de regressão polinomial?

Quais são as diferenças entre a filtragem passa-baixa clássica (com IIR ou FIR) e "suavização" por regressão polinomial localizada de N-grau e / ou interpolação (no caso de upsampling), especificamente no caso em que N é maior que 1 mas menor que o número local de pontos usados ​​no ajuste de regressão.

Tanto a filtragem passa-baixo quanto a suavização da regressão polinomial podem ser vistas como aproximações de uma função. No entanto, os meios para fazer isso são diferentes. A principal pergunta a fazer aqui é "Você pode fazer um em termos do outro?" e a resposta curta é "nem sempre", pelos motivos explicados abaixo.

Ao suavizar a filtragem, a operação da tecla é convolução em que , que no domínio da frequência se traduz em onde denota a Transformada Discreta de Fourier (e$y(n)=x(n)*h(n)$$y=F^{-1}(F(x)F(h))$$F$$F^{-1}$ a inversa). A Transformada Discreta de Fourier (por exemplo, ) oferece uma aproximação de x como uma soma de funções trigonométricas. Quando h é um filtro passa-baixo, um número menor de componentes de baixa frequência é retido e as mudanças bruscas em $F(x)$$x$$h$$x$são suavizados. Isto define-passe baixo filtragem no contexto da função de aproximação usando funções trigonométricas como as funções de base , mas vale a pena rever a fórmula convolução de nota que quando a filtragem, y (n) (a saída do filtro) depende bem como uma soma ponderada de amostras anteriores de x (a ponderação aqui determinada pela "forma" de h ). (considerações semelhantes também são válidas para os filtros IIR com a adição de valores passados ​​de y ( n ) )$x(n)$$x$$h$$y(n)$

Porém, ao suavizar por um polinômio de n grau , a saída do interpolante depende apenas de e uma mistura de funções de base (diferentes) (também chamadas monômios ). Quais são essas diferentes funções básicas? É uma constante ( a 0 x 0 ), uma linha ( a 1 x ), uma parábola ( a 2 x 2 ) e assim por diante (consulte isso para uma boa ilustração). Geralmente, porém, ao lidar com amostras equi-distantes no tempo e por razões relacionadas à precisão, o que é usado é a forma polinomial de Newton$x(n)$$a_0x^0$$a_1x$$a_2x^2$. A razão pela qual estou citando isso é porque, com isso, é fácil perceber que, ao executar a interpolação linear, você pode construir um núcleo de filtro que retorna uma soma ponderada linearmente de amostras disponíveis, assim como um polinômio de interpolação de baixa ordem usaria "linhas" para interpolar entre duas amostras. Porém, em graus mais altos, os dois métodos de aproximação retornariam resultados diferentes (devido às diferenças nas funções básicas).

Como escrevi acima, não levar em consideração os valores passados ​​de não é rigoroso. Este é um ponto sutil. Como geralmente, ao construir um polinômio, os valores fora do intervalo especificado ("passado" e "futuro" de um sinal) não são considerados. No entanto, é possível incluí-las fixando as derivadas nas bordas do intervalo. E se isso for feito repetidamente (como uma janela deslizante sem sobreposição), efetivamente, as "amostras passadas" de x (n) serão levadas em consideração. (Esse é o truque que os splines usam e, de fato, existe uma expressão de convolução para interpolação bicúbica . No entanto, observe aqui que a interpretação de x é diferente quando se fala em splines$x(n)$$x$ -note o ponto sobre normalização-)

A razão para usar a filtragem como interpolação algumas vezes, digamos, por exemplo, no caso da "Interpolação simples", é porque também faz sentido do ponto de vista físico. A representação idealizada de um sistema com banda limitada (por exemplo, um amplificador (linear) ou lente em um sistema óptico ) no domínio do tempo é o pulso sinc. A representação no domínio da frequência de um pulso sinc é um retângulo "pulso". Portanto, com pouquíssimas suposições, esperamos que um valor ausente esteja mais ou menos próximo de seus vizinhos (é claro, dentro de limites). Se isso foi realizado com algum polinômio de ordem n (para n mais alto), então "corrigimos" a maneira como um valor ausente está relacionado aos seus vizinhos, o que nem sempre pode ser realista (por que os valores de pressão sonora de um frente de onda batendo em um microfone ser fixado para ter a forma de um por exemplo? Ele coloca uma suposição sobre como a fonte de som se comporta, o que nem sempre pode ser verdade.Por favor, note que eu não implica qualquer adequação de um esquema de interpolação do ponto de vista psicofísico aqui, que envolve o processamento do cérebro (ver Lanczos reamostrando$x^3$por exemplo). Estou falando estritamente das restrições impostas pela interpolação quando se tenta "adivinhar" valores objetivamente ausentes.

Não existe um "melhor método" universal, depende muito do problema de interpolação com que você se depara.

Eu espero que isso ajude.

PS (Os artefatos gerados por cada um dos dois métodos de aproximação também são diferentes; veja, por exemplo, o Fenômeno de Gibbs e o ajuste excessivo , embora o ajuste excessivo esteja "do outro lado" da sua pergunta.)

Boa pergunta e respostas esclarecedoras. Eu queria compartilhar algumas idéias da seguinte maneira. Também existem bases polinomiais ortogonais, como as bases polinomiais de Legendre (em contraste com as bases monomiais), que são mais estáveis ​​no ajuste de polinômios de maior grau. Como as bases sinc usadas na fórmula de interpolação de Shannon (que de fato também pode ser vista como uma operação de convolução e, portanto, uma operação de filtragem) são bases ortogonais para um espaço Hilbert sem banda, as bases polinomiais ortogonais podem servir para aproximar uma classe maior de funções que não estão na banda ilimitada espaço junto com o poder da ortogonalidade com eles.

A filtragem polinomial (não a interpolação) também existe na literatura de Química desde 1960. Uma boa nota de aula sobre a revisão deste tópico foi escrita por R.Schafer intitulado O que é filtro Savitzky-Golay, link: http: // www-inst. eecs.berkeley.edu/~ee123/fa12/docs/SGFilter.pdf