qual é a diferença entre

Ambas as notações são comuns e corretas. Como apontado por Yuri Nenakhov, a vantagem do argumento $j\omega$ é que coincide com a variável complexa (transformada de Laplace) $s$ quando sua parte real é zero. Note que no complexo $s$ -planeja o eixo da frequência é o eixo imaginário. assim $j\omega$ não tem nada a ver com frequência complexa (o que não faz sentido).

Então, se a transformada de Laplace $X(s)$ de um sinal $x(t)$ existe, e se o eixo imaginário estiver dentro de sua região de convergência, a transformação de Fourier é obtida definindo $s=j\omega$ .

Observe que isso não funciona em geral! Em geral, você não pode obter a transformação de Fourier substituindo $s$ com $j\omega$ e vice versa. Duas condições devem ser atendidas para que isso leve a um resultado correto:

Ambas as transformações devem existir (no sentido de que o sinal correspondente $x(t)$ tem uma transformação de Laplace e uma transformação de Fourier).
O eixo imaginário $s=j\omega$ deve estar dentro da região de convergência da transformação de Laplace.

Um exemplo em que a substituição $s$ de $j\omega$ não funciona, mesmo que as duas transformações existam, é a função step:

\begin{aligned} x (t) = u (t) \\ Laplace transform: & X (s) = \frac{1}{s} \\ Fourier transform: & \hat{X} (j ω) = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \neq X (s) |_{s = j ω} \end{aligned}

$\begin{align}&x(t)=u(t)\\\text{Laplace transform: }&X(s)=\frac{1}{s}\\ \text{Fourier transform: }&\hat{X}(j\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\neq X(s)|_{s=j\omega}\end{align}$

Matt L.
fonte

Eu discordo do seu exemplo. Claramente, a transformação de Laplace da função Heaviside não existe em s = 0 (e existe no eixo imaginário também apenas por continuação analítica); portanto, seus próprios requisitos falham. Observe também que a transformada de Fourier e a transformada de Laplace coincidem onde ambas são definidas.

Jazzmaniac

@Jazzmaniac: A transformação de Laplace da função step existe. Tem um poste

s = 0

$s=0$ . Isso é diferente dos casos em que a transformação de Laplace não existe (como para

x (t) = \sin (ω t)

$x(t)=\sin(\omega t)$ ) Se você não está dizendo que a transformação de Fourier de

x (t) = u (t)

$x(t)=u(t)$ pode ser obtido de

X (s)

$X(s)$ definindo

s = j ω

$s=j\omega$ (o que está errado), não tenho certeza do que você está dizendo.

Matt L.

Estou dizendo que a transformação de Laplace não existe em s = 0 e, estritamente falando, nem existe em real (s) = 0. A integral imprópria não converge para lá. Você pode corrigir isso aplicando uma atribuição de valor principal de Cauchy à integral ou continuando analiticamente a transformação Laplace em reais (s)> 0. Mas faça o que fizer, você não pode corrigi-lo para s = 0. Portanto, a transformação de Laplace não existe em todo lugar no eixo imaginário e, se você é realmente rigoroso, não existe em nenhum lugar no eixo imaginário no sentido adequado.

Jazzmaniac

É por isso que o desacordo entre a transformada de Laplace e a transformada de Fourier em

s = 0

$s=0$ ou

ω = 0

$\omega=0$ é o mínimo que você pode esperar. Não é muito mais do que uma coincidência feliz, após algumas boas propriedades da continuação analítica, que você obtém o resultado correto em

s = ω * j

$s=\omega*j$ para

ω \neq 0

$\omega \neq 0$ . Então, eu concordo com o seu exemplo, mas não com a premissa "... mesmo que ambas as transformações existam ...".

Jazzmaniac

@Jazzmaniac: OK, mas a ideia do exemplo era mostrar um caso simples em que com

X (s)

$X(s)$ a transformação de Laplace,

X (j ω)

$X(j\omega)$ não (para todos

ω

$\omega$ ) igual à transformada de Fourier. E ainda, ambas as transformações existem para esse exemplo. Obviamente, o ROC de

X (s)

$X(s)$ é

R e {s} > 0

$Re\{s\}>0$ . A função step tem uma transformação de Laplace e uma transformação de Fourier, é tudo o que quero dizer quando digo que as duas existem. Vou adicionar mais dois exemplos mais tarde, onde um dos dois não existe, para deixar meu argumento um pouco mais claro.

Matt L.

$X(j \omega)$ (resposta em frequência) é uma transformação de Fourier da resposta ao impulso do sistema. Na verdade, é uma função da frequência ( $\omega$ ), mas geralmente é escrito como $X(j \omega)$ porque substituindo $j \omega$ na fórmula com $s$ dará a transformação Laplace do sistema $X(s)$ sem conversões adicionais. (Isso também funciona na direção oposta: se você tiver uma transformação de Laplace, poderá obter resposta de frequência substituindo $s$ com $j \omega$ .)

Yuri Nenakhov
fonte

Observe que a substituição

s

$s$ com

j ω

$j\omega$ e vice-versa geralmente não é uma maneira válida de obter a transformação de Fourier a partir da transformação de Laplace ou o contrário. Veja minha resposta.

Matt L.

qual é a diferença entre

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