Campos matemáticos necessários para o design do filtro digital

Eu quero aprender design de filtro digital. Meu conhecimento de matemática está no ensino médio. Eu posso aprender matemática pela Internet. Então, quais campos da matemática eu tenho que aprender?

Se você tem coragem de aprender matemática sozinho. Os dois campos da matemática que você precisa dominar para executar o design de filtro são: Análise Funcional e otimização convexa. Praticamente todo projeto de filtro é resultado de um problema de otimização, como: Encontre esses conjuntos de números modo que o valor absoluto da transformação de Fourier nessas regiões de frequência tenha a seguinte forma (entre esses dois limites quando a frequência é de 0Hz a 320Hz, e entre esses outros dois quando a frequência for maior que 340Hz). Ou, qual é o conjunto de N números que, ao aplicar a convolução discreta da sequência dos números neste sinal x ( n ) , o resultado é esse sinal y ( $N$$N$$x(n)$ . E há muitas outras maneiras de defini-las.$y(n)$

E você precisará de análise funcional para entender como modelar um sinal, como modelar um sistema e como modelar as interações e operações entre sinais (transformações, convoluções, etc.).

Espero que ajude.

Para começar:

Números complexos

A resposta de frequência de um filtro é mais fácil de entender com valores complexos, descrevendo a resposta de frequência de magnitude e a resposta de frequência de fase. Você será capaz de entender pólos e zeros, que podem ser complexos. Números complexos permitem frequências negativas, o que tornará a matemática mais simples.

Trigonometria

$\sin$$\cos$$e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

Diferenciação

Para descobrir em que frequência um filtro simples atinge o pico ou diminui, é possível resolver em que frequência a derivada de sua magnitude é zero.

Integração

É necessária integração para a transformação de Fourier e a inversa de Fourier.

transformada de Fourier

A transformação de Fourier permite passar de uma resposta de impulso para uma resposta de frequência e voltar. Além disso, as coisas que você faz no domínio do tempo geralmente têm uma contrapartida simples no domínio da frequência e vice-versa.

@ George Theodosiou: Em vez de mergulhar em todos os tipos de assuntos matemáticos de alta potência (apenas uma parte será útil para você), sugiro que comece lendo um livro decente para iniciantes em DSP. Como os livros populares "Entendendo o processamento de sinais digitais" ou "O guia do cientista e do engenheiro para o processamento de sinais digitais". Esses livros dão ao leitor, lenta e suavemente, a matemática necessária para começar a estudar o DSP. Então, quando você encontrar alguma equação nos livros que o intrigam, poderá acessar a Web e aprender a matemática dessa equação em particular.

George, se seu desejo de aprender a filtrar digital for sincero e você mantiver seu entusiasmo, terá sucesso. Para citar Susan B. Anthony, "O fracasso é impossível". Boa sorte.

Muito obrigado aos que responderam, comentaram e visualizaram minha pergunta. Minha resposta é que tenho de começar com a Análise Funcional, como sugere o Sr. Bone. Lembro-me do ensino médio que quando um polinômio de x é igualado a y, produz a função de x com y. Também me lembro do teorema fundamental da álgebra para coeficientes reais. Então eu posso começar com esse conhecimento.

Para o design do filtro digital, agradeço as respostas acima e gostaria de adicionar alguns campos.

Primeiro, vamos nos restringir à filtragem linear. Linearidade, juntamente com invariância no tempo, são suposições básicas. Com eles, espaços vetoriais, convolução (integrais e séries) e transformadas de Fourier (parte da análise funcional, com trigonometria complexa e adn) tornam-se ferramentas naturais. Eu insisto que essas ferramentas são conseqüências naturais da linearidade / invariância no tempo; se você conseguir isso, será gentilmente levado às ferramentas de que precisa. A otimização é bastante difundida no design do filtro.

Por outro lado, lembre-se de campos adicionais. Você pode estar interessado em projetar filtros complementares, com taxas diferentes, e o design de filtros com múltiplas taxas pode levar à fatoração da matriz, que também é útil em estruturas de filtro (treliça, escada) e fatoração espectral. Se você for para a implementação do sistema real (FPGA, microcontrolador), poderá ter que mergulhar na aritmética de ponto fixo ou inteiro. Obviamente, a teoria da amostragem é um requisito de primeira ordem, especialmente se você for multidimensional (processamento de imagem). Pode-se até tocar em matemática superior, com sistemas polinomiais e bases de Gröbner .

Gosto muito de uma introdução matemática e limpa básica a muitos tópicos, Análise e Aplicações de Gasquet e Witomski Fourier: Filtragem, Computação Numérica, Wavelets .

Deixe-me acrescentar um problema menos mencionado: uma grande questão é frequentemente o número de derivações e a precisão (número de bits por coeficiente) necessária para satisfazer um determinado projeto de filtro. Duas fontes:

• Ichige et al. Estimativa precisa do comprimento mínimo do filtro para filtros digitais ótimos {FIR} , transações IEEE em circuitos e sistemas II: Processamento de sinais analógicos e digitais, 2000
• Bellanger, Sobre complexidade computacional em filtros digitais , 1981