Como construir um deslocador de fase com deslocamento de fase arbitrário

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Fred, um engenheiro de DSP, vai à sua loja DSP favorita para fazer compras.

Fred: Oi, eu gostaria de comprar um deslocador de fase.

Assistente de loja: Hmm, o que exatamente você quer dizer?

Fred: Bem, você sabe, se você colocar um sinusóide como obtém na saída, para qualquer . E, é claro, deve ser ajustável.y ( t ) = sin ( ω 0 t - θ ) ω 0 θx(t)=sin(ω0t)y(t)=sin(ω0tθ)ω0θ

Assistente de loja: Entendo. Desculpe, não, nós não temos isso. Mas lembro-me de outros caras que precisavam da mesma coisa, e sempre compram um transformador Hilbert, alguns multiplicadores e um somador, e de alguma forma conectam todas essas coisas para fazer uma mudança de fase ajustável.

Fred: Ah sim, certo!

Fred finge entender do que o cara está falando. Claro que ele não tem ideia de como fazer isso. Ele compra tudo o que o cara disse que precisa e pensa sozinho que pode descobrir isso em casa ou, se tudo estiver falhando, ele pode pedir no DSP.SE.

Como pode Fred construir um shifter fase com mudança de fase ajustável usando os componentes que ele recebeu na loja?θ

Matt L.
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Muito bom! Esclareça se a fase deve ser a mesma para todas as frequências (em uma determinada banda) ou se um atraso arbitrário constante seria suficiente (com qualquer frequência, você pode estabelecer a fase, mas a fase mudará linearmente com a frequência). Acho que sei a resposta para ambos os casos, mas esperarei alguns dias para ver o que mais acontecerá!
Dan Boschen
Esta loja da qual você está falando ... fica ao lado do Hilbert's Hotel, certo?
M529
Os únicos transformadores decentes de Hilbert estocados por lojas por aqui parecem ter essa enorme entrada para atrasos na produção. Eu vi alguns mais rápidos em um catálogo de máquinas do tempo, mas as avaliações do Yelp para esse fornecedor parecem ter 0 estrelas.
hotpaw2
@ DanBoschen: Qualquer entrada senoidal será alterada por , independentemente de sua frequência. Portanto, o atraso de fase é diferente para cada frequência. θ
Matt L.
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@ hotpaw2: Apenas ignore essas estrelas e obtenha uma rapidamente antes que elas se esgotem!
Matt L.

Respostas:

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Boa pergunta! Ele usa uma das minhas identidades trigonométricas favoritas (que também podem ser usadas para mostrar que a modulação em quadratura é realmente amplitude e modulação de fase simultâneas).

A transformação de Hilbert de é . Além disso, (restrito a ), com . Isso sugere uma abordagem possível. Digamos que Fred precise de radianos. Ele calcula . Então, ele precisa encontrar e tal que e , com e , que é um problema de álgebra simples. Defina , ,- cos ( 2 π f 0 t ) sin ( 2 π f 0 t + θ ) = a sen ( 2 π f 0 t ) + b cos ( 2 π f 0 t ) a 2 + b 2 = 1 θ = atan2 ( b ,sin(2πf0t)cos(2πf0t)

sin(2πf0t+θ)=asin(2πf0t)+bcos(2πf0t)
a2+b2=1θ=atan2(b,a)θ=2.1tan(2.1)1.71aba2+b2=1b/a=1.71a<0b>0a0=1b0=1.71n=a02+b02 , , e . Então, Fred pode gerar facilmente um seno com a fase desejada usando um transformador Hilbert, dois multiplicadores, duas fontes de CC (uma configurada para volts e a outra para volts, para cuidar do sinal do cosseno), e um somador.a=a0/nb=b0/nab

A resposta ao impulso do sistema descrito acima é dada por:

aδ(t)+bπt

Diagrama de bloco:

insira a descrição da imagem aqui

MBaz
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Eu gosto disso, mesmo que (ou talvez porque) seja uma derivação bem diferente daquela que eu tinha em mente. Observe também que é talvez um pouco mais fácil de obter as constantes e como e , respectivamente. Vou esperar um pouco para ver se existem outras respostas entrando.abcosθsinθ
Matt L.
Para esclarecimento, você poderia adicionar a resposta ao impulso e / ou a resposta em frequência do sistema total?
Matt L.
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Muito bom MBaz, é o que eu estava pensando - essencialmente um "modulador de vetor", que é um componente adquirido para esse fim (como um aplicativo). O HIlbert Transformer, no entanto, não pode ser comprado como um componente real sem restringi-lo a uma banda limitada (ou acho que o usuário pode obter um transformador diferente para cada banda de interesse). Agora, estou muito interessado em ver a solução de Matt, se for diferente, já que isso foi tudo o que pude apresentar.
Dan Boschen
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@MattL. Eu adicionei a resposta ao impulso. Vou desenhar um diagrama e postá-lo também. Bom ponto sobre o cálculo de e . ab
MBaz
@ DanBoschen Sim, eu assumi que o transformador Hilbert é ideal, o que acho bom para este quebra-cabeça. Também estou interessado em ver a solução alternativa de Matt.
MBaz
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A resposta do MBaz está correta. Gostaria apenas de acrescentar outra maneira de pensar sobre o assunto, obviamente levando ao mesmo resultado:

Um deslocador de fase ideal com deslocamento de fase tem uma resposta de frequência que pode ser reescrito como O olho treinado identificará como a resposta de frequência de um transformador Hilbert ideal. A resposta de impulso correspondente é . Consequentemente, a resposta de impulso do deslocador de fase ideal é que pode ser implementada como conexão paralela ponderada de um transformador Hilbert e um pedaço de fio com pesosθ

H(ω)={ejθ,ω>0ejθ,ω<0
H(ω)=ejθsign(ω)=cos(θ)jsign(ω)sin(θ)
G(ω)=jsign(ω) h(t)=cos(θ)δ(t)+sin(θ)1g(t)=1πt sen(θ)cos(θ)
h(t)=cos(θ)δ(t)+sin(θ)1πt
sin(θ) e , respectivamente.cos(θ)

Observe que esse sistema pode ser bem aproximado em uma implementação prática (em tempo discreto). Basta pegar um transformador Hilbert de fase linear FIR bem projetado de comprimento e adicionar um atraso de amostras ao outro caminho do sinal.N2N+1N

Matt L.
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Boa explicação - a contraparte no domínio da frequência da minha solução no domínio do tempo.
MBaz
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@ MBaz: Obrigado! E os fatores de escala e aparecem automaticamente. cos ( θ )sin(θ)cos(θ)
Matt L.