Limites da derivada de uma função limitada de banda limitada

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Seja uma função com propriedades:f(t)

tRt is in realsf(t)R for all tf(t) is in reals|f(t)|<A for all tabsolute value of f(t) is bounded above by Af(t) eiωt dt=0 for all |ω|Bf(t) is band-limited by frequency B in radians

Dados e qual é o limite superior apertado para o valor absoluto da derivada da função?AB,|f(t)|,

Nada mais deve ser assumido sobre além do que foi afirmado acima. O limite deve acomodar essa incerteza.f(t)

Para um sinusóide de amplitude e frequência o valor absoluto máximo da derivada éGostaria de saber se esse é um limite superior e, nesse caso, também o limite superior apertado. Ou talvez uma função não sinusoidal tenha uma inclinação mais acentuada.AB,AB.

Olli Niemitalo
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Tendero
@Tendero thanks. Lá, a energia do sinal é conhecida, e não o valor absoluto de pico, como na minha pergunta.
Olli Niemitalo 30/08/19
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Veja minha resposta para o limite que você procura. Em geral, um resultado devido a Bernstein diz que se a frequência máxima em um genérico delimitado em for , ou seja, para , então x(t)[1,1]f0X(f)=0|f|>f0
max|dxdt|2πf0.
precisa saber é o seguinte
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Com base na versão nítida da desigualdade de Bernstein, nas respostas vinculadas de Dilip, na resposta editada de MBaz e na literatura citada, é realmente o limite superior agudo (eu o chamei de apertado, o mesmo) para o valor absoluto máximo do derivado, um valor completo. escala sinusoidal exatamente no limite da banda (não estritamente permitido pelas restrições que dou), tornando a desigualdade uma igualdade. AB
Olli Niemitalo 31/08/18

Respostas:

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Você estará interessado na desigualdade de Bernstein, que aprendi pela primeira vez em Lapidoth, A Foundation in Digital Communication (página 92).

Com um sinal bem comportado, como você definiu acima (em particular, é integrável e com banda limitada a e ), entãof(t)f(t)BHzsup|f(t)|=A

|df(t)dt|2ABπ.

Observe que o resultado original de Bernstein estabeleceu um limite de ; depois, esse limite foi apertado para .4ABπ2ABπ


Passei algum tempo lendo a "Série Trigonométrica" ​​de Zygmund; tudo o que direi é que é o remédio perfeito para quem tem a impressão de que conhece trigonometria. Uma compreensão completa da prova está além da minha habilidade matemática, mas acho que posso destacar os pontos principais.

Primeiro, o que Zygmund chama de desigualdade de Bernstein é um resultado mais limitado. Dado o polinômio trigonométrico (com real ), entãocom desigualdade estrita, a menos que seja um monômio .

T(x)=ckejkx
x
maxx|T(x)|nmaxx|T(x)|
TAcos(nx+α)

Para generalizar isso, precisamos de um resultado preliminar. Considere uma função que está em e em . ( é a classe de funções integrais do tipo no máximo - este é um dos lugares em que minha matemática começa a se desgastar nas bordas. Meu entendimento é que essa é uma maneira matematicamente rigorosa de afirmando que tem largura de banda .)FEπL2Eσσf=IFT{F}σ

Para qualquer um desses , temos a fórmula de interpolação onde é complexo e(Este é o teorema 7.19.)F

F(z)=sin(πz)πF1(z),
z
F1(z)=F(0)+F(0)π+n=(1)nF(n)(1zn+1n).

Agora podemos afirmar o principal teorema. E se:

  • F está em comEσσ>0
  • F é delimitado no eixo real
  • M=sup|F(x)|para realx

então com igualdade possível se para arbitrário . Supomos que (caso contrário, usamos vez de .)

|F(x)|σM
F(z)=aejσz+bejσxa,bσ=πF(zπ/σ)F(z)

Para provar isso, escrevemos a derivada de usando a fórmula de interpolação acima:Definindo , obtemos que implicaF

F(x)=F1(x)cos(πx)+sin(πx)πn=(1)nF(n)(xn)2.
x=1/2
F(1/2)=4πn=(1)nF(n)(2n1)2
|F(1/2)|4πn=1(2n1)2=4Mπ24π=Mπ.

Agora precisamos de um pequeno truque: faça um arbitrário e defina . Então,x0G(z)=F(x0+z1/2)

|F(x0)|=|G(1/2)|Mπ.

(TODO: mostre a prova do caso de igualdade. Defina .)

MBaz
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@OlliNiemitalo Como foi salientado na resposta de MattL, a sinusóide tem máxima derivado de . Isso atende aos limites de Bernstein, conforme indicado na minha resposta aqui no dsp.SE (citado em um comentário à sua pergunta) e na minha resposta no math.SE que você encontrou com igualdade. sin(2πBt)2πB
usar o seguinte código
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@OlliNiemitalo Encontrei a prova dada por Pinksy aqui (espero que o link funcione!). Ele definitivamente usa como limite, não . 4ABπ2ABπ
MBaz 30/08/19
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@ MBaz Seu link funciona mesmo! No final da seção 2.3.8, eles dizem que a versão mais conhecida da desigualdade de Bernstein tem o fator 2 em vez de 4, que é nítido, e que, para detalhes, consulte Zygmund (1959) vol. 2, p. 276. Eu acho que é Zygmund, A. Série trigonométrica. 2nd ed. Vol. II Cambridge University Press, Nova York 1959.
Olli Niemitalo
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RP Boas, Alguns teoremas sobre transformadas de Fourier e conjugadas integrais trigonométricas , Transactions of the American Mathematics Society 40 (2), 287-308, 1936 cita os artigos relevantes de Bernstein, Szegö e Zygmund, já com o limite preciso, tanto quanto Eu sei dizer
Olli Niemitalo 30/08/18
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@OlliNiemitalo Excellent! Eu tinha perdido essa nota no final da seção 2.3.8. Vou atualizar minha resposta. Além disso: o livro de Zygmund está na biblioteca da minha universidade, mas não está online. Vou retirá-lo amanhã e ver o que diz.
MBaz 30/08/19
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Em geral, você obteria algo como isto, mas pode não ser rígido:

|f(t)|=|12πjωF(jω)ejωtdω|12π|ω||F(jω)|dω=12πωcωc|ω||F(jω)|dω|ωc|2πωcωc|F(jω)|dω(1)=ωcπ0ωc|F(jω)|dω

O limite superior em |f(t)| é claro que está implícito em |F(jω)|.

Para um sinusóide Asin(ωct), (1)Aωc como um limite superior, conforme o esperado.

Matt L.
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@Olli Niemitalo, eu tinha derivado o caso senoidal, acho que esse é o caso geral que estávamos analisando. Obrigado Matt L.
MimSaad