Seja uma função com propriedades:
Dados e qual é o limite superior apertado para o valor absoluto da derivada da função?
Nada mais deve ser assumido sobre além do que foi afirmado acima. O limite deve acomodar essa incerteza.
Para um sinusóide de amplitude e frequência o valor absoluto máximo da derivada éGostaria de saber se esse é um limite superior e, nesse caso, também o limite superior apertado. Ou talvez uma função não sinusoidal tenha uma inclinação mais acentuada.
bandwidth
derivative
Olli Niemitalo
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Respostas:
Você estará interessado na desigualdade de Bernstein, que aprendi pela primeira vez em Lapidoth, A Foundation in Digital Communication (página 92).
Com um sinal bem comportado, como você definiu acima (em particular, é integrável e com banda limitada a e ), entãof(t) f(t) BHz sup|f(t)|=A ∣∣∣df(t)dt∣∣∣≤2ABπ.
Observe que o resultado original de Bernstein estabeleceu um limite de ; depois, esse limite foi apertado para .4ABπ 2ABπ
Passei algum tempo lendo a "Série Trigonométrica" de Zygmund; tudo o que direi é que é o remédio perfeito para quem tem a impressão de que conhece trigonometria. Uma compreensão completa da prova está além da minha habilidade matemática, mas acho que posso destacar os pontos principais.
Primeiro, o que Zygmund chama de desigualdade de Bernstein é um resultado mais limitado. Dado o polinômio trigonométrico (com real ), entãocom desigualdade estrita, a menos que seja um monômio .T(x)=∑−∞∞ckejkx x maxx|T′(x)|≤nmaxx|T(x)| T Acos(nx+α)
Para generalizar isso, precisamos de um resultado preliminar. Considere uma função que está em e em . ( é a classe de funções integrais do tipo no máximo - este é um dos lugares em que minha matemática começa a se desgastar nas bordas. Meu entendimento é que essa é uma maneira matematicamente rigorosa de afirmando que tem largura de banda .)F Eπ L2 Eσ σ f=IFT{F} σ
Para qualquer um desses , temos a fórmula de interpolação onde é complexo e(Este é o teorema 7.19.)F F(z)=sin(πz)πF1(z), z F1(z)=F′(0)+F(0)π+∑n=−∞∞′(−1)nF(n)(1z−n+1n).
Agora podemos afirmar o principal teorema. E se:
então com igualdade possível se para arbitrário . Supomos que (caso contrário, usamos vez de .)|F′(x)|≤σM F(z)=aejσz+be−jσx a,b σ=π F(zπ/σ) F(z)
Para provar isso, escrevemos a derivada de usando a fórmula de interpolação acima:Definindo , obtemos que implicaF F′(x)=F1(x)cos(πx)+sin(πx)π∑n=−∞∞(−1)nF(n)(x−n)2. x=1/2 F′(1/2)=4π∑n=−∞∞(−1)nF(n)(2n−1)2 |F′(1/2)|≤4π∑n=−∞∞1(2n−1)2=4Mπ24π=Mπ.
Agora precisamos de um pequeno truque: faça um arbitrário e defina . Então,x0 G(z)=F(x0+z−1/2) |F′(x0)|=|G′(1/2)|≤Mπ.
(TODO: mostre a prova do caso de igualdade. Defina .)∑′
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Em geral, você obteria algo como isto, mas pode não ser rígido:
O limite superior em|f(t)| é claro que está implícito em |F(jω)| .
Para um sinusóideAsin(ωct) , (1) dá Aωc como um limite superior, conforme o esperado.
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