Estou procurando a transformação Hilbert da seguinte função:
Onde e são constantes com e .
É bem sabido que , que pode ser facilmente mostrado reescrevendo a transformação Hilbert como uma convolução com e usando a representação espectral, como mostrado a seguir:
Onde denota o operador de convolução. Considere o seguinte par de Fourier:
Com isso, o problema pode ser resolvido no espectro da seguinte maneira:
Aqui, os dois pulsos do Dirac delta estão localizados em e frequência angular e, portanto, a função de sinal é aplicada diretamente. Portanto, temos
Contudo, o mesmo princípio não pode ser aplicado a , uma vez que sua função espectral são duas funções Gaussianas complexas sobrepostas também deslocadas para e frequência angular:
Cada função Gaussiana complexa é definida para todas as frequências e, portanto, a aplicação da função de sinal não simplifica ou resolve o problema. Também tentei resolver diretamente a integral de transformada de Hilbert sem sucesso. Agradeço qualquer ajuda.
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Respostas:
Calcular diretamente isso parece difícil.
Minha argumentação é a seguinte. Para um sinals(t) , o chamado sinal analíticosan(t) pode ser obtido por
san(t)=s(t)+jH{s(t)},whereSan(ω)=0∀ω<0
O sinal analítico corresponde essencialmente ao conteúdo espectral de s(t) apenas nas frequências positivas.
Para o seu primeiro exemplo de um sinusóide simples, você também pode chegar ao resultado da transformação de Hilbert se considerar o sinal analítico. O sinusóide real consiste nos componentes de frequência±B . O sinal analítico deve então ser o componente emB , que obviamente é um exponencial complexo, produzindo o resultado para a transformação de Hilbert.
Agora, para o seu sinal de chirpx(t) , a situação é um pouco mais complicada. Se pensarmos em um "curso instantâneo de frequência" virtual do sinal, é
ωx(t)=±(2At+B).
Agora isso é um tanto estranho, correspondendo a dois componentes linearmente variáveis da inclinação oposta, cruzando o ponto de frequência zero em ωx(t=−B2A)=0 .
Agora, o sinal analítico teria que representar a parte desse curso de frequência acima da linha zero doω−t avião (posso adicionar alguns gráficos mais tarde). Isso significa que ele deve primeiro ter uma inclinação negativa, descer até a frequência zero e depois mudar abruptamente para uma inclinação positiva!
Isso significa que o sinal analítico teria que parecer algo comoxan(t)=c1exp(−j(At2+Bt+π4))∀t<−B2A
e
xan(t)=c2exp(j(At2+Bt+π4))∀t≥−B2A,
onde o c são constantes com |c|=1 .
Agora podemos determinar a transformação Hilbert dex(t) observando e checando a equação para o sinal analítico. Isso gera
H{x(t)}=cos(At2+Bt+π4)∀t<−B2A,withc1=−j,
e
H{x(t)}=−cos(At2+Bt+π4)∀t≥−B2A,withc2=j.
Provavelmente, também é possível escrevê-las como uma equação com a função de valor absoluto. De qualquer forma, o ponto é que a transformação de Hilbert parece conter uma descontinuidade, o que torna isso particularmente confuso para calcular, suspeito.
Eu sei que é um tanto "handwaivy", mas acho que a idéia / resultado geral está correta, então espero que isso ajude!
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