Transformação de Hilbert de uma função seno com argumento quadrático

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Estou procurando a transformação Hilbert da seguinte função:

H{sin(At2+Bt+π4)}

Onde A e B são constantes com A<0 e B>0.


É bem sabido que H{sin(Bt)}=cos(Bt), que pode ser facilmente mostrado reescrevendo a transformação Hilbert como uma convolução com 1/πt e usando a representação espectral, como mostrado a seguir:

H{sin(Bt)}=sin(Bt)1πt

Onde denota o operador de convolução. Considere o seguinte par de Fourier:

F{1πt}=jsgn(ω)

Com isso, o problema pode ser resolvido no espectro da seguinte maneira:

F{sin(Bt)1πt}=πj(δ(ωB)δ(ω+B))(jsgn(ω))=π(δ(ωB)+δ(ω+B))

Aqui, os dois pulsos do Dirac delta estão localizados em +B e Bfrequência angular e, portanto, a função de sinal é aplicada diretamente. Portanto, temos

H{sin(Bt)}=F1{π(δ(ωB)+δ(ω+B))}=cos(Bt)


Contudo, o mesmo princípio não pode ser aplicado a x(t)=sin(At2+Bt+π/4), uma vez que sua função espectral são duas funções Gaussianas complexas sobrepostas também deslocadas para +B e B frequência angular:

F{x(t)}=πA2j(exp(j14A(ωB)2)exp(+j14A(ω+B)2))ifA<0

Cada função Gaussiana complexa é definida para todas as frequências e, portanto, a aplicação da função de sinal não simplifica ou resolve o problema. Também tentei resolver diretamente a integral de transformada de Hilbert sem sucesso. Agradeço qualquer ajuda.

andresnm
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Nesse caso, w (t) = 2 * A * t + B. Você poderia usar essas informações para ajudá-lo?
Ben

Respostas:

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Calcular diretamente isso parece difícil.

Minha argumentação é a seguinte. Para um sinals(t), o chamado sinal analíticosan(t) pode ser obtido por

san(t)=s(t)+jH{s(t)},whereSan(ω)=0ω<0
O sinal analítico corresponde essencialmente ao conteúdo espectral de s(t) apenas nas frequências positivas.

Para o seu primeiro exemplo de um sinusóide simples, você também pode chegar ao resultado da transformação de Hilbert se considerar o sinal analítico. O sinusóide real consiste nos componentes de frequência±B. O sinal analítico deve então ser o componente emB, que obviamente é um exponencial complexo, produzindo o resultado para a transformação de Hilbert.

Agora, para o seu sinal de chirp x(t), a situação é um pouco mais complicada. Se pensarmos em um "curso instantâneo de frequência" virtual do sinal, é

ωx(t)=±(2At+B).
Agora isso é um tanto estranho, correspondendo a dois componentes linearmente variáveis ​​da inclinação oposta, cruzando o ponto de frequência zero em ωx(t=B2A)=0.

Agora, o sinal analítico teria que representar a parte desse curso de frequência acima da linha zero do ωtavião (posso adicionar alguns gráficos mais tarde). Isso significa que ele deve primeiro ter uma inclinação negativa, descer até a frequência zero e depois mudar abruptamente para uma inclinação positiva!

Isso significa que o sinal analítico teria que parecer algo como

xan(t)=c1exp(j(At2+Bt+π4))t<B2A
e
xan(t)=c2exp(j(At2+Bt+π4))tB2A,
onde o c são constantes com |c|=1.

Agora podemos determinar a transformação Hilbert de x(t)observando e checando a equação para o sinal analítico. Isso gera

H{x(t)}=cos(At2+Bt+π4)t<B2A,withc1=j,
e
H{x(t)}=cos(At2+Bt+π4)tB2A,withc2=j.

Provavelmente, também é possível escrevê-las como uma equação com a função de valor absoluto. De qualquer forma, o ponto é que a transformação de Hilbert parece conter uma descontinuidade, o que torna isso particularmente confuso para calcular, suspeito.

Eu sei que é um tanto "handwaivy", mas acho que a idéia / resultado geral está correta, então espero que isso ajude!

mateC
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