“Amostragem complexa” pode quebrar Nyquist?

Ouvi anedoticamente que a amostragem de sinais complexos não precisa seguir as taxas de amostragem de Nyquist, mas na verdade pode ser evitada com taxas de amostragem de metade de Nyquist. Gostaria de saber se existe alguma verdade nisso?

De Nyquist, sabemos que para amostrar sem ambiguidade um sinal, precisamos amostrar pelo menos mais que o dobro da largura de banda desse sinal. (Estou definindo a largura de banda aqui, como eles fazem no link do wiki , também conhecido como ocupação da frequência positiva). Em outras palavras, se meu sinal existe de -B a B, preciso amostrar pelo menos> 2 * B para satisfazer nyquist. Se eu misturasse esse sinal até fc e desejasse fazer uma amostragem passa-banda, precisaria amostrar pelo menos> 4 * B.

Tudo isso é ótimo para sinais reais.

Minha pergunta é: existe alguma verdade na afirmação de que um sinal complexo de banda base (ou seja, que existe apenas em um lado do espectro de frequência) não precisa ser amostrado a uma taxa de pelo menos> 2 * B, mas pode de fato ser amostrada adequadamente a uma taxa de pelo menos> B?

(Eu costumo pensar que, se esse for o caso, isso é simplesmente semântica, porque você ainda precisa coletar duas amostras (uma real e uma imaginária) por tempo de amostra para representar completamente o fasor rotativo, continuando seguindo Nyquist estritamente. .)

Quais são seus pensamentos?

Sua compreensão está correta. Se você amostrar na taxa , somente com amostras reais, poderá representar inequivocamente o conteúdo da frequência na região [ 0 , f $f_s$$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

$f_s$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$$f_s$

Há também uma abordagem simples para explicar isso: se o sinal da banda base real tiver um espectro de -B a + B, você amostrará com 2B, para garantir que as repetições espectrais do espectro não se sobreponham. Uma sobreposição significaria que você recebe o alias e não pode reconstruir o espectro original.

Agora, com um sinal complexo, o espectro varia, como mencionado por Jason, de 0 a B. (Teoricamente, ele também pode ter espectro em frequências negativas, mas, na maioria dos casos práticos, varia de 0 a B.) Se você amostrar com taxa B, como não há partes em frequências negativas no espectro original, as repetições do espectro não se sobrepõem -> é possível uma reconstrução inequívoca!

Eu diria que é um 'Não' qualificado, no sentido de que o número de amostras reais individuais não foi devidamente esclarecido, juntamente com o objetivo de escolher a taxa de digitalização do sinal.

Primeiro, todos os sinais do mundo real são reais, e não complexos. Ou seja, sempre que somos confrontados com uma representação complexa, na verdade temos dois pontos de dados (reais), que devem ser levados em consideração no limite de 'Nyquist'.

A segunda questão é 'frequências negativas', como percebidas na banda base. Quase todo o ensino de amostragem é do ponto de vista da banda base; portanto, as frequências tendem a ser 0..B, que são então amostradas em fs. As frequências negativas são meio que ignoradas (usando a identidade conjugada complexa).

É possível pensar no sinal da banda base como se estivesse sendo modulado na frequência zero; no entanto, iniciar a modulação da portadora no ponto fs / 2 nominal pode ser iluminador, pois vemos as duas bandas laterais e o termo complexo (matemático) de o transportador. A frequência anteriormente negativa mudou. E podemos não ter mais a complexa identidade conjugada.

Se a identidade conjugada complexa foi eliminada, não temos mais a dobragem de frequência e temos uma quebra simples de alias.

Portanto, se tivermos um sinal real de HF sendo amostrado para fornecer a desmodulação da representação complexa, sem dobrar, em certo sentido, acabaremos com uma largura de banda fs / 4 (+/- B). Para cada 4 amostras de dados (0, 90, 180, 270 graus), produzimos dois valores que representam os componentes em fase (0 - 180) e quadratura (90 - 270) da amostra complexa geral.

Em um mundo totalmente complexo, se o sinal é complexo, a frequência de amostragem é complexa, resultando em duas vezes os termos. Depende de quais recursos matemáticos são necessários para o sinal amostrado.