Em um processo de Poisson medido com alguma eficiência, a contagem medida ainda é Poisson?

Situação:

Digamos que eu tenha um processo de Poisson, como decaimento radioativo, produzindo partículas R por segundo. Eu meço com um detector. Existe uma probabilidade P de que uma partícula seja detectada pelo detector.

Coisas que acho que sei:

1. O tempo entre a chegada da emissão de partículas é distribuído exponencialmente com parâmetros com base em R .
2. O número de partículas emitidas antes da detecção é determinada por uma binomial negativo com base em P .
3. Se um número N for amostrado de (2), uma única amostra do tempo de chegada para partículas detectadas pode ser fornecida pela soma de N amostras de (1). Esta soma pode ser obtido por amostragem a partir de uma gama de distribuição com base em parâmetros N e R .

Minha pergunta:

Se um único tempo de chegada pode ser calculado por amostragem de uma gama baseada em N e R , como o número de contagens de detectores em um intervalo acaba sendo Poisson novamente? (Para ser Poisson, o tempo de chegada do detector deve ser exponencial, não distribuído de acordo com alguma coisa gama estranha.) É claro que N está flutuando, mas não consigo ver como isso funciona.

No entanto, tenho quase certeza absoluta de que a contagem de detectores é de fato distribuída por Poisson. Alguém poderia me mostrar a matemática? Obrigado pela ajuda!

EDITAR:

Encontrei este artigo: Fried, DL "Ruído na corrente de fotoemissão". Applied Optics 4.1 (1965): 79-80.

O que mostra o resultado de que uma variável aleatória poisson selecionada binomialmente também é Poisson com uma taxa dada por PR. Isso confirma o comentário de jbowman. Ainda assim, eu estaria interessado em ver a explicação de como meu processo de gerar o tempo de chegada no detector usando a distribuição negativa binomial e gama está incorreto. Este é o meu grande soluço mental. Obrigado.

EDIT 2:

Eu escrevi esse script do matlab para testar se o que eu estava tentando com a distribuição gama funcionou. Acontece que, de alguma forma, os tempos de chegada gama gerados com um N geometricamente distribuído são exponenciais e concordam com os tempos de chegada sugeridos por Poisson (PR). (ia2 e ia3 são distribuídos de forma idêntica). Alguma idéia de como isso funciona analiticamente? Não era intuitivamente óbvio para mim!

close all
n = 100000;
ia1 = exprnd(1,n,1); % create exponentially distributed inter-arrival times
t1 = cumsum(ia1); % running sum (the real experiment time)

mask = (rand(n,1) > 0.5); % flip a coin
t2 = t1(mask); % get only the events for which "the coin landed on heads"
ia2 = diff(t2); % calculate the inter-arrival times at the detector.

% plot the distributions
figure; hist(ia1,100); title('exponential inter-arrival times');
figure; hist(ia2,100); title('binomial sampled inter-arrival times');

%%
spacing = geornd(0.5,n,1) + 1; % how many events before we get heads
ia3 = gamrnd(spacing,ones(n,1)); % generate the interarrival times with gamma
figure; hist(ia3,100); title('geom/gamma inter-arrival times');

Um rápido argumento não técnico pode usar redes Jackson . No seu caso, o total de chegadas externas é a taxa e não há transições internas (as partículas observadas não mudam para a fila não observada). A proporção de divisão entre os nós observados e não observados é , então a$R$$p_{0i}$$P$

$\lambda_{obs}=RP$

Se você estiver procurando os primeiros princípios, chame do processo de contagem observado e o processo de contagem total. Onde cada chegada em é registrada em com probabilidade . Portanto, se para alguns , temos então tem uma distribuição binomial ( ).$O(t)$$N(t)\sim PP(r)$$N(t)$$O(t)$$p$$s$$N(s)=n$$O(s)$$n,p$

Essa abordagem usa funções de geração de probabilidade:

$E[z^{O(t)}|N(t)=n]=\sum_{j=0}^{n}z^{j} {n \choose j}p^j(1-p)^{n-j}=(1-p+pz)^{n}$

Última igualdade pelo teorema do binômio. Então, incondicionalmente, já que :$N(t)\sim Poisson(rt)$

$E[z^{O(t)}]=E[E[z^{O(t)}|N(t)=n]]=\sum_{n=0}^{\infty}(1-p+pz)^{n}\frac{rt^n}{n!}e^{-rt}=e^{-rt}e^{rt(1-p+pz)}=e^{rpt(z-1)}$

Qual é a função geradora de probabilidade de uma variável aleatória Poisson ( ).$rpt$