Como encontrar uma densidade a partir de uma função característica?

8

Uma distribuição tem a função característica

ϕ(t)=(1t2/2)exp(t2/4), <t<

Mostre que a distribuição é absolutamente contínua e escreva a função de densidade da distribuição.

Tentativa:

|(1t2/2)exp(t2/4)|dt=(2/t)(1t2/2)exp(t2/4)2exp(t2/4)|0

Resultado semelhante para [0,] pois t é ao quadrado.

Não sei ao certo se fiz a integração corretamente, mas se posso mostrar que o valor absoluto de ϕ(t) é menor que , então a função é absolutamente contínua.

statsguyz
fonte
Use p(t)/exp(t2)0 para t± para qualquer polinômio p . Isso garante que ambas as caudas sejam integráveis.
Stefan Hansen

Respostas:

9

Funções de densidade são encontradas com a transformação inversa de Fourier. A função densidade da distribuição, se essa densidade existir, será dada por

f(t)=12πReitxϕ(x)dx=12πReitx((1x2/2)ex2/4)dx.

Essa integral pode ser dividida em duas, cada uma com um integrando da forma

exp(Qt(x))x2k

onde é uma forma quadrática com termo inicial negativo e k é um número inteiro não negativo. Isso torna cada integrando uma função de Schwartz (diminuindo rapidamente) , garantindo sua integrabilidade para qualquer t . A integrabilidade prova que é contínua ; a rápida diminuição prova que é absolutamente contínua. As integrais são prontamente realizadas completando o quadrado na exponencial, reduzindo-as a múltiplos de momentos pares da distribuição gaussiana. O resultado éQtkt

f(t)=2πt2et2.

A continuidade de confirma a conclusão anterior da continuidade absoluta da distribuição.f

Lote de f

O quadrado de esta variável (simétrica) tem uma gama distribuição.(3/2,1)


Como alternativa, pode-se reconhecer que

ϕ(t)=-2(-12+t24)e-t2/4=(-Eu)2d2dt22e-t2/4

e-t2/4-Eud/dtf(x)x22e-t2/4e-x22/π1/2

whuber
fonte