Soma das variáveis aleatórias truncadas normais

Suponha que eu tenha variáveis aleatórias normais independentes $n$

X_{1} \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2}) X_{2} \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2}) ⋮ X_{n} \sim N (μ_{n}, σ_{n}^{2})

$X_1 \sim \mathrm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\\X_2 \sim \mathrm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\\\vdots\\X_n \sim \mathrm{N}(\mu_n, \sigma_n^2)$

e . Como caracterizaria a densidade de se a distribuição de cada é truncada para dentro ? Em outras palavras, estou amostrando distribuições normais independentes, descartando amostras fora de de cada média e somando-as. $Y=X_1+X_2+\dotsm+X_n$ $Y$ $X_i$ $(\mu_i - 2\sigma_i, \mu_i + 2\sigma_i)$ $n$ $2\sigma_i$

No momento, estou fazendo isso com o código R abaixo:

x_mu <- c(12, 18, 7)
x_sd <- c(1.5, 2, 0.8)
a <- x_mu - 2 * x_sd
b <- x_mu + 2 * x_sd

samples <- sapply(1:3, function(i) {
  return(rtruncnorm(100000, a[i], b[i], x_mu[i], x_sd[i]))
})

y <- rowSums(samples)

Existe algum método para gerar a densidade de $Y$ diretamente?

r normal-distribution pdf truncation saddlepoint-approximation Devin
fonte

Sua pergunta implica que você conhece todos os . É esse realmente o caso ou você os está estimando ? Há uma enorme diferença! Por curiosidade, por que você está jogando fora esses dados? Dependendo dos seus objetivos, suspeito que existam (muito) melhores procedimentos.

σ_{i}

$\sigma_i$

whuber

Conheço todos os meios e SDs para meus dados, sim.

Devin

Eu acredito que você poderia caracterizá-lo como "uma bagunça". Este artigo, jstor.org/stable/2236545 , examina o assunto com mais rigor científico.

Alecos Papadopoulos

Fora da aproximação via CLT, isso é relativamente complicado. Eu acho que se for pequeno o suficiente, você pode tentar a convolução numérica.

n

$n$

Glen_b -Reinstar Monica

@ Silverfish Dependendo da implementação, plataforma e quão fina é uma grade tolerável, centenas devem ficar bem (talvez mais); além da velocidade, porém, com termos suficientes, você precisa ter muito mais cuidado com os detalhes da implementação ou vários problemas numéricos podem começar a surgir.

Glen_b -Replica Monica

Respostas:

Você pode usar a aproximação pelos métodos de ponto de sela, para a soma das normais truncadas. Não vou dar os detalhes agora, você pode ver minha resposta à soma geral das distribuições Gamma para obter dicas. O que precisamos é encontrar a função geradora de momento para um normal truncado, o que é fácil. Farei isso aqui para um normal normal truncado às , que tem densidade que aqui são densidade e cdf para um normal padrão, respectivamente. $\pm 2$

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{C} ϕ (x), & | x | \leq 2 \\ 0, & | x | > 2 \end{cases}

$f(x) =\begin{cases} \frac1{C} \phi(x), & |x| \le 2 \\ 0, & |x| > 2 \end{cases}$

C = Φ (2) - Φ (- 2)

$C=\Phi(2) - \Phi(-2)$

ϕ (x), Φ (x)

$\phi(x), \Phi(x)$

A função geradora de momento pode ser calculada como e, em seguida, podemos usar as aproximações do ponto de sela.

M (t) = E e^{t X} = \frac{1}{C} \int_{- 2}^{2} e^{t x} ϕ (x) d x = \frac{1}{C} e^{\frac{1}{2} t^{2}} [Φ (2 - t) - Φ (- 2 - t)]

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M(t) = \E e^{tX}=\frac1{C}\int_{-2}^2 e^{tx} \phi(x)\; dx=\frac1{C}e^{\frac12 t^2} [\Phi(2-t)-\Phi(-2-t) ]$

kjetil b halvorsen
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-3

Estou curioso por que, mas sim, existe uma maneira simples de gerar o pdf dessa soma de distribuições:

## install.packages("truncnorm")
## install.packages("caTools")
library(truncnorm)

x.mu <- c(12, 18, 7)
x.sd <- c(1.5, 2, 0.8)
x.a <- x.mu - 2*x.sd
x.b <- x.mu + 2*x.sd

dmulti <- function(x, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             dtruncnorm(x, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)
pmulti <- function(q, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             ptruncnorm(q, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)

pointrange <- range(c(x.a, x.b))
pointseq <- seq(pointrange[1], pointrange[2], length.out=100)
## Plot the probability density function
plot(pointseq, dmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")

## Plot the cumulative distribution function
plot(pointseq, pmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")

Bill Denney
fonte

Se eu li esse código corretamente, você parece estar implementando algo como uma mistura ao invés de um somatório. A plotagem que esse código produz é lamentavelmente incorreta. Nem sequer é uma função de densidade de probabilidade válida!

whuber

@ Whuber, obrigado pela captura. Normalizei o pdf e adicionei o cdf.

Bill Denney

Obrigado. No entanto, o erro básico persiste: você está computando uma distribuição de mistura em vez da soma.

whuber

Soma das variáveis ​​aleatórias truncadas normais

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