Extreme Value Theory - Programa: Normal para Gumbel

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O máximo de X1,,Xn. padrão Normal Normal converge para a Distribuição Gumbel Padrão de acordo com a Teoria dos Valores Extremos .

Como podemos mostrar isso?

Nós temos

P(maxXix)=P(X1x,,Xnx)=P(X1x)P(Xnx)=F(x)n

Precisamos encontrar / escolher sequências de constantes tais que:an>0,bnR

F(anx+bn)nnG(x)=eexp(x)

Você pode resolvê-lo ou encontrá-lo na literatura?

Existem alguns exemplos na pág.6 / 71 , mas não no caso Normal:

Φ(anx+bn)n=(12πanx+bney22dy)neexp(x)
emcor
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Respostas:

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Uma maneira indireta é a seguinte:
Para distribuições absolutamente contínuas, Richard von Mises (em um artigo de 1936 "A distribuição da maior quantidade de valores" , que parece ter sido reproduzido em inglês? - em uma edição de 1964 com documentos), forneceu as seguintes condições suficientes para que o máximo de uma amostra converja para o padrão Gumbel, :G(x)

Seja a função de distribuição comum de n iid variáveis ​​aleatórias ef ( x ) sua densidade comum. Então seF(x)nf(x)

limxF1(1)(ddx(1F(x))f(x))=0X(n)dG(x)

Usando a notação usual para o normal normal e calculando a derivada, temos

ddx(1Φ(x))ϕ(x)=ϕ(x)2ϕ(x)(1Φ(x))ϕ(x)2=ϕ(x)ϕ(x)(1Φ(x))ϕ(x)1

Observe que . Além disso, para a distribuição normal,F-1(1)=. Então nós temos que avaliar o limiteϕ(x)ϕ(x)=xF1(1)=

limx(x(1Φ(x))ϕ(x)1)

Mas é a razão de Mill, e sabemos que a razão de Mill para o padrão normal tende a1/x àmedida quexcresce. então(1Φ(x))ϕ(x)1/xx

limx(x(1-Φ(x))ϕ(x)-1)=x1x-1=0 0

e a condição suficiente é satisfeita.

Os série associados são dadas como

uman=1nϕ(bn),bn=Φ-1(1-1/n)

TERMO ADITIVO

Isto é do cap. 10.5 do livro HA David & HN Nagaraja (2003), "Order Statistics" (edição 3d) .

. Além disso, a referência a de Haan é"Haan, LD (1976). Exemplos extremos: uma introdução elementar. Statistica Neerlandica, 30 (4), 161-172." Mas cuidado, porque parte da notação tem conteúdo diferente emde Haan- por exemplo, no livro f ( t ) é a função de densidade de probabilidade, enquanto emde Haan f ( t ) significa a função w ( t ) do livro (isto é, a razão de Mill). De Haan também examina a condição suficiente já diferenciada.ξuma=F-1(uma)f(t) f(t)w(t)

insira a descrição da imagem aqui

Alecos Papadopoulos
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Não tenho certeza se entendi sua solução. Então você considerou como o CDF normal padrão. Eu segui e concordo que a condição suficiente é satisfeita. Mas como as séries associadas a n e b n são repentinamente dadas por elas? Fanbn
Renrenthehamster 7/07
@renrenthehamster Acho que essas duas partes são declaradas independentemente (sem conexão direta).
Emcor 07/07
E então, como as séries associadas podem ser obtidas? De qualquer forma, eu abri uma pergunta sobre esta questão (e, mais geralmente, para outras distribuições além do padrão normal)
renrenthehamster
@renrenthehamster Adicionei material relevante. Não acredito que exista uma receita padrão para todos os casos, para encontrar essas séries.
Alecos Papadopoulos
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A pergunta faz duas coisas: (1) como mostrar que o máximo de converge, no sentido de que ( X ( n ) - b n ) / a n converge (em distribuição) para seqüências adequadamente escolhidas ( a n ) e ( b n ) , à distribuição Standard Gumbel e (2) como encontrar tais seqüências.X(n)(X(n)bn)/an(an)(bn)

O primeiro é bem conhecido e documentado nos trabalhos originais sobre o teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko (FTG). O segundo parece ser mais difícil; esse é o problema abordado aqui.

Observe, para esclarecer algumas afirmações que aparecem em outras partes deste tópico, que

  1. O máximo não converge para nada: diverge (ainda que extremamente devagar).

  2. Parece haver diferentes convenções sobre a distribuição Gumbel. Adotarei a convenção de que o CDF de uma distribuição reversa de Gumbel é, de acordo com a escala e a localização, dado por . Um máximo padronizado de variáveis ​​normais normais converge para uma distribuição Gumbel invertida.1exp(exp(x))


Intuição

Quando o são iid com função de distribuição comum F , a distribuição do máximo X ( n ) éXiFX(n)

Fn(x)=Pr(X(n)x)=Pr(X1x)Pr(X2x)Pr(Xnx)=Fn(x).

Quando o suporte de não tem limite superior, como na distribuição Normal, a sequência de funções F n marcha para sempre para a direita, sem limite:FFn

figura 1

Gráficos parciais de para n = 1 , 2 , 2 2 , 2 4 , 2 8 , 2 16 são mostrados.Fnn=1,2,22,24,28,216

Para estudar as formas dessas distribuições, podemos mudar cada um de volta para a esquerda por uma certa quantidade e redimensionar-lo por um n para torná-los comparáveis.bnan

Figura 2

Cada um dos gráficos anteriores foi deslocado para colocar sua mediana em e fazer seu intervalo interquartil de comprimento unitário.0

O FTG afirma que as seqüências e ( b n ) podem ser escolhidas para que essas funções de distribuição converjam ponto a ponto a cada x para uma distribuição de valor extremo , até a escala e a localização. Quando F é uma distribuição Normal, a distribuição de valor extremo limitante específica é um Gumbel invertido, até o local e a escala.(an)(bn)xF


Solução

Fnanbn

0<q<1FnqxqFn(xq)=qFn(x)=Fn(x)

xq;n=F1(q1/n).

Portanto, podemos definir

bn=x1/2;n, an=x3/4;nx1/4;n; Gn(x)=Fn(anx+bn).

Gn01Gn01βαα+βloglog(2)β(loglog(4)loglog(4/3))

α=loglog2loglog(4/3)loglog(4); β=1loglog(4)loglog(4/3).

anbnGnF

uman=registro((4registro2(2))/(registro2(43)))22registro(n), bn=2registro(n)-registro(registro(n))+registro(4πregistro2(2))22registro(n)

funcionará bem (e é o mais simples possível).

Figura 3

Gnn=2,26,211,216umanbnαβx


Referências

BV Gnedenko, sobre a distribuição limitante do prazo máximo em uma série aleatória . Em Kotz e Johnson, Breakthroughs in Statistics Volume I: Foundations and Basic Theory, Springer, 1992. Traduzido por Norman Johnson.

whuber
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uman0 0n(2registro(n)-registro(2π))-1/2n
Sim, é verdade, eu percebi isso logo depois que publiquei o meu comentário e o apaguei imediatamente. Obrigado!
Vossler
umanbn.
@ Jess Isso é melhor, porque demonstrar uma abordagem alternativa foi a motivação para escrever esta resposta. Não entendo sua insinuação de que considerei "inútil escrever uma resposta", porque foi explicitamente o que fiz aqui.
whuber
@ Jess Eu não posso continuar essa conversa porque é totalmente unilateral: ainda não reconheci o que escrevi em nenhuma das suas caracterizações. Estou desistindo enquanto estou atrasado.
whuber