sob uma ordem gaussiana

Esta pergunta está iniciando na seguinte pergunta. /math/360275/e1-1x2-under-a-normal-distribution

Basicamente, o que é sob um gaussiano . Tentei reescrever como uma mistura escalar de gaussianos ( ). Isso também parou, a menos que vocês tenham um truque. $E\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\propto \int\mathcal{N}(x|0,\tau^{-1})Ga(\tau|1/2,1/2)d\tau$

Se essa integral não é analítica, há limites sensíveis?

normal-distribution expected-value bounds sachinruk
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por que você não pode fazer o mesmo que na pergunta à qual vinculou? (o que implica que não é analítica (uma vez que avalia a ERFC com algumas constantes)

seanv507

Porque eu não sigo o que ele fez completamente. O erfc também é bom #

sachinruk

Respostas:

Seja seja o Normal PDF e são o PDF de uma distribuição de Student t com um df o PDF de uma variável normal é (por simetria), a expectativa é igual a $f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$ $(0,\sigma)$ $g(x) = \frac{1}{\pi}\left(1+x^2\right)^{-1}$ $(\mu,\sigma)$ $X$ $f_\sigma(x-\mu) = f_\sigma(\mu-x)$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = E_{σ, μ} (π g (X)) = \int_{R} f_{σ} ((μ - x)^{2}) π g (x) d x .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\pi g(X)\right) = \int_\mathbb{R} f_\sigma\left((\mu-x)^2\right) \pi g(x)dx.$

Esta é a fórmula que define a convolução . O resultado mais básico da análise de Fourier é que a transformada de Fourier de uma convolução é o produto das transformadas de Fourier . Além disso, as funções características (cf) são (até múltiplos adequados) transformadas de Fourier de PDFs. O cf de uma distribuição Normal é $(f\star \pi g)(\mu)$ $(0,\sigma)$

{\hat{f}}_{σ} (t) = \exp (- t^{2} σ^{2} / 2)

$\widehat{f}_\sigma(t) = \exp(-t^2\sigma^2/2)$

e o cf desta distribuição Student t é

\hat{g} (t) = \exp (- | t |) .

$\widehat{g}(t) = \exp(-|t|).$

(Ambos podem ser obtidos por métodos elementares.) O valor da transformação inversa de Fourier de seu produto em é, por definição, $\mu$

\frac{1}{2 π} \int_{R} {\hat{f}}_{σ} (t) π \hat{g} (t) \exp (- i t μ) d t = \frac{1}{2} \int_{R} \exp (- t^{2} σ^{2} / 2 - | t | - i t μ) d t .

$\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \widehat{f}_\sigma(t)\pi\widehat{g}(t) \exp(-i t \mu) dt =\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \exp(-t^2\sigma^2/2-|t|-i t \mu) dt.$

Seu cálculo é elementar: execute-o separadamente nos intervalos e para simplificarpara e , respectivamente, e complete o quadrado de cada vez. Integrais semelhantes ao CDF Normal são obtidos - mas com argumentos complexos. Uma maneira de escrever a solução é $(-\infty,0]$ $[0,\infty)$ $|t|$ $-t$ $t$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \frac{\sqrt{\frac{π}{2}} e^{- \frac{(μ + i)^{2}}{2 σ^{2}}} (e^{\frac{2 i μ}{σ^{2}}} erfc (\frac{1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) - erf (\frac{- 1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) + 1)}{2 σ} .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{(\mu +i)^2}{2 \sigma ^2}} \left(e^{\frac{2 i \mu }{\sigma ^2}} \text{erfc}\left(\frac{1+i \mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{-1+i\mu}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)}{2 \sigma }.$

Aqui, é a função de erro complementar em que $\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$

erf (z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{z} \exp (- t^{2}) d t .

$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \exp(-t^2)dt.$

Um caso especial é para o qual esta expressão se reduz a $\mu=0, \sigma=1$

E_{1, 0} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.65567954241879847154 \dots .

$\mathbb{E}_{1, 0}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.65567954241879847154\ldots.$

Aqui está o gráfico de contorno de (em um eixo logarítmico de ). $\mathbb{E}_{\sigma,\mu}$ $\sigma$

Figura

whuber
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+1. Nota pequena: é igual a para mim, o que concorda com @ resposta numérica da fabee.

\sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}})

$\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

0.6556795424 \dots

$0.6556795424\ldots$

COOLSerdash

Agradável. Na verdade, eu perdi totalmente que essa é a densidade da soma de uma variável gaussiana e uma distribuída em t (até a normalização). +1 para derivar a fórmula geral para e arbitrários .

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

Fabee

@ COOL Obrigado - copiei a resposta errada. (Fiz vários cálculos numéricos; o que eu relatei erroneamente era para .) Colarei o correto.

μ = 1, σ = 1 / 2

$\mu=1,\sigma=1/2$

whuber

Esta é uma idéia de como resolvê-lo, que usa a identidade proposta por Did aqui . Você poderia usar

\frac{1}{S} = \int_{0}^{\infty} \exp (- t S) d t

$\frac{1}{S}=\int_0^\infty \exp(-tS)dt$

\begin{aligned} E (\frac{1}{x^{2} + 1}) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- t (x^{2} + 1)) \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x d t \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- t) {(1 + 2 t)}^{- \frac{1}{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} {[erf (\sqrt{t + \frac{1}{2}})]}_{0}^{\infty} \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} (1 - erf (\sqrt{\frac{1}{2}})) \end{aligned}

$\begin{align}E\left(\frac{1}{x^2+1}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-t(x^2+1)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx \mathrm dt\\ &=\int_0^\infty \exp\left(-t\right)\left(1+2t\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm dt\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left[\mbox{erf}\left(\sqrt{t+\frac{1}{2}}\right)\right]_0^\infty\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left(1-\mbox{erf}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align}$

fabee
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+1 para a abordagem. Eu acredito que o fator de não pertence ao resultado, no entanto.

1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$

whuber

Essa é a constante de normalização para o gaussiano (vem da expectativa). Então, a menos que esteja faltando alguma coisa, acho que pertence a ela.

\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$

Fabee

Você confundiu a função de erro com o CDF gaussiano: eles não são os mesmos. Tente um cálculo numérico - você verá o erro.

whuber

Você está correto, o fator estava errado. Mas aconteceu antes de eu usar a função de erro. a expectativa de wrt e esqueci de remover a constante de normalização posteriormente. Obrigado pela dica.

\exp (- t x^{2})

$\exp(-t x^2)$

x

$x$

Fabee