Estimando o número de bolas selecionando sucessivamente uma bola e marcando-a

Vamos dizer que tenho N bolas em um saco. No meu primeiro sorteio, marquei a bola e a recoloquei na sacola. No meu segundo sorteio, se eu pegar uma bola marcada, eu a coloco na bolsa. Se, no entanto, eu pegar uma bola não marcada, eu a marca e a devolvo à bolsa. Eu continuo isso para qualquer número de empates. Qual é o número esperado de bolas na bolsa, dado um número de empates e o histórico marcado / não marcado dos empates?

Aqui está uma ideia. Deixe ser um subconjunto finito dos números naturais que servirão como os valores possíveis para n . Suponha que temos uma distribuição prévia sobre eu . Fixar um não-aleatória inteiro positivo M . Seja k a variável aleatória que denota o número de vezes que marcamos uma bola em M draws da sacola. O objetivo é encontrar E ( N | k ) . Isso será função de M , ke anterior.$\mathcal{I}$$N$$\mathcal{I}$$M$$k$$M$$E(N|k)$$M,k$

Pela regra de Bayes, temos

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

A computação é um cálculo conhecido, que é uma variante do problema dos coletores de cupons. P ( k | N = j ) é a probabilidade de observar k cupons distintos nos sorteios M quando houver j cupons no total. Veja aqui um argumento para$P(k|N=j)$$P(k|N=j)$$k$$M$$j$

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

onde denota um número stirling do segundo tipo . Podemos então calcular$S$

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

Abaixo estão alguns cálculos para vários e . Em cada caso, usamos um uniforme anterior emM [ k , 10 k $k$$M$$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$