Informações observadas de Fisher em transformação

9

De "Em toda a probabilidade: modelagem estatística e inferência usando a probabilidade" de Y. Pawitan, a probabilidade de uma parametrização é definida como modo que se g for um a um, então L ^ * (\ psi) = L (g ^ {- 1} (\ psi)) (p. 45). Eu estou tentando mostrar o Exercício 2.20, que afirma que se \ theta é escalar (e presumo que g também seja uma função escalar), então eu ^ * (g (\ hat {\ theta})) = I ( \ hat {\ theta}) \ esquerda | \ frac {\ parcial g (\ hat {\ theta})} {\ parcial \ hat {\ theta}} \ right | ^ {- 2}, onde eu (\ theta) = - \ frac {\ parcial ^ 2} {\ parcial \ theta ^ 2} l (\ theta) θg(θ)=ψ

L(ψ)=max{θ:g(θ)=ψ}L(θ)
gL(ψ)=L(g1(ψ))θg
I(g(θ^))=I(θ^)|g(θ^)θ^|2,
I(θ)=2θ2l(θ)
é a informação de Fisher observada e l(θ)=logL(θ) .

Se g é um para um, isso é simples, usando a regra da cadeia e o princípio da invariância. Estou apenas pensando em algumas coisas:

  1. Por que ele insiste em escrever o valor absoluto? Isso pode ser deixado de fora, certo?
  2. Por g(θ^)θ^ ele significa a função g(θ)θ avaliada em θ=θ^ , certo? Se for esse o caso, não é uma má escolha de notação? Acredito que a notação abreviada usual para esse woruld seja g(θ^)θ .
  3. Como isso é mostrado quando g não é necessariamente individual?
Stefan Hansen
fonte

Respostas:

4
  1. O valor absoluto é desnecessário. Pode ser apenas um erro de digitação.

  2. Você está correto. Uma notação ainda melhor seria .dg(θ)dθ|θ=θ^

  3. Não se aplica em geral. Corrija alguns e defina por . O rhs seria indefinido, pois a derivada é zero para cada .ψ0g:RRg(θ)=ψ0θ

Um esboço do caso regular:

Para suavizar um a um com . Como , temos Portanto, gψ=g(θ)d/dψ=dθ/dψd/dθ

I(ψ)=d2L(ψ)dψ2=ddψ(dL(ψ)dψ)=ddψ(dL(ψ)dθdθdψ)=d2L(ψ)dθ2(dθdψ)2dL(ψ)dθd2θdψ2dθdψ.
I(g(θ^))=d2L(g(θ^))dθ2(dθdψ)2dL(g(θ^))dθd2θdψ2dθdψ=d2L(g1(g(θ^)))dθ2(dg(θ)dθ|θ=g1(g(θ^)))2dL(g1(g(θ^)))dθd2θdψ2dθdψ=I(θ^)(dg(θ)dθ|θ=θ^)2,
em que usamos .dL(g1(g(θ^)))/dθ=dL(θ^)/dθ=0
zen
fonte
11
Obrigado por abordar todas as minhas dúvidas e por esse contra-exemplo simples com constante . Seu esboço do caso regular é semelhante ao que eu fiz, então está tudo bem. Obrigado. g
Stefan Hansen