Informações observadas de Fisher em transformação

De "Em toda a probabilidade: modelagem estatística e inferência usando a probabilidade" de Y. Pawitan, a probabilidade de uma parametrização é definida como modo que se g for um a um, então L ^ * (\ psi) = L (g ^ {- 1} (\ psi)) (p. 45). Eu estou tentando mostrar o Exercício 2.20, que afirma que se \ theta é escalar (e presumo que g também seja uma função escalar), então eu ^ * (g (\ hat {\ theta})) = I ( \ hat {\ theta}) \ esquerda | \ frac {\ parcial g (\ hat {\ theta})} {\ parcial \ hat {\ theta}} \ right | ^ {- 2}, onde eu (\ theta) = - \ frac {\ parcial ^ 2} {\ parcial \ theta ^ 2} l (\ theta) $\theta\mapsto g(\theta)=\psi$

$$L^*(\psi)=\max_{\{\theta:g(\theta)=\psi\}} L(\theta)$$ $g$$L^*(\psi)=L(g^{-1}(\psi))$$\theta$$g$ $$I^*(g(\hat{\theta}))=I(\hat{\theta})\left|\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}\right|^{-2},$$ $$I(\theta)=-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} l(\theta)$$ é a informação de Fisher observada e $l(\theta)=\log L(\theta)$ .

Se $g$ é um para um, isso é simples, usando a regra da cadeia e o princípio da invariância. Estou apenas pensando em algumas coisas:

1. Por que ele insiste em escrever o valor absoluto? Isso pode ser deixado de fora, certo?
2. Por $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}$ ele significa a função $\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}$ avaliada em $\theta=\hat{\theta}$ , certo? Se for esse o caso, não é uma má escolha de notação? Acredito que a notação abreviada usual para esse woruld seja $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \theta}$ .
3. Como isso é mostrado quando $g$ não é necessariamente individual?

1. O valor absoluto é desnecessário. Pode ser apenas um erro de digitação.

2. Você está correto. Uma notação ainda melhor seria .$\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}$

3. Não se aplica em geral. Corrija alguns e defina por . O rhs seria indefinido, pois a derivada é zero para cada .$\psi_0$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$g(\theta)=\psi_0$$\theta$

Um esboço do caso regular:

Para suavizar um a um com . Como , temos Portanto, $g$$\psi=g(\theta)$$d/d\psi = d\theta/d\psi\cdot d/d\theta$

$$\begin{align} I^*(\psi) &= -\frac{d^2L^*(\psi)}{d\psi^2} = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\psi} \right) = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\theta} \frac{d\theta}{d\psi}\right) \\ &= - \frac{d^2L^*(\psi)}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(\psi)}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi}\, . \end{align}$$ $$\begin{align} I^*(g(\hat{\theta})) &= -\frac{d^2L^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= -\frac{d^2L(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta^2} \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=g^{-1}(g(\hat{\theta}))}\right)^{-2} - \frac{dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= I(\hat{\theta}) \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}\right)^{-2} \, , \end{align}$$ em que usamos .$dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))/d\theta=dL(\hat{\theta})/d\theta=0$